Theorem ordsucg 4246

Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucg	⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))

Proof of Theorem ordsucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucim 4244	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
2		sucidg 4171	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3		ordelord 4136	. . . 4 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ suc 𝐴) → Ord 𝐴)
4	3	ex 113	. . 3 ⊢ (Ord suc 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 → Ord 𝐴))
5	2, 4	syl5com 29	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
6	1, 5	impbid2 141	1 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601  Ord word 4117  suc csuc 4120

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-sn 3404  df-uni 3602  df-tr 3876  df-iord 4121  df-suc 4126

This theorem is referenced by:  sucelon  4247