Theorem 2ralbiim 41174

Description: Split a biconditional and distribute 2 quantifiers, analogous to 2albiim 1817 and ralbiim 3069. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2ralbiim	|- ( A. x e. A A. y e. B ( ph <-> ps ) <-> ( A. x e. A A. y e. B ( ph -> ps ) /\ A. x e. A A. y e. B ( ps -> ph ) ) )

Proof of Theorem 2ralbiim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralbiim 3069	. . 3 |- ( A. y e. B ( ph <-> ps ) <-> ( A. y e. B ( ph -> ps ) /\ A. y e. B ( ps -> ph ) ) )
2	1	ralbii 2980	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ( ph <-> ps ) <-> A. x e. A ( A. y e. B ( ph -> ps ) /\ A. y e. B ( ps -> ph ) ) )
3		r19.26 3064	. 2 |- ( A. x e. A ( A. y e. B ( ph -> ps ) /\ A. y e. B ( ps -> ph ) ) <-> ( A. x e. A A. y e. B ( ph -> ps ) /\ A. x e. A A. y e. B ( ps -> ph ) ) )
4	2, 3	bitri 264	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ( ph <-> ps ) <-> ( A. x e. A A. y e. B ( ph -> ps ) /\ A. x e. A A. y e. B ( ps -> ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wral 2912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 386  df-ral 2917

This theorem is referenced by: (None)