Theorem 2ralor 3109

Description: Distribute restricted universal quantification over "or". (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
2ralor	|- ( A. x e. A A. y e. B ( ph \/ ps ) <-> ( A. x e. A ph \/ A. y e. B ps ) )

Distinct variable groups:   ph, y   ps, x   y, A   x, B   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem 2ralor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexnal 2995	. . . 4 |- ( E. x e. A -. ph <-> -. A. x e. A ph )
2		rexnal 2995	. . . 4 |- ( E. y e. B -. ps <-> -. A. y e. B ps )
3	1, 2	anbi12i 733	. . 3 |- ( ( E. x e. A -. ph /\ E. y e. B -. ps ) <-> ( -. A. x e. A ph /\ -. A. y e. B ps ) )
4		ioran 511	. . . . . . 7 |- ( -. ( ph \/ ps ) <-> ( -. ph /\ -. ps ) )
5	4	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. y e. B -. ( ph \/ ps ) <-> E. y e. B ( -. ph /\ -. ps ) )
6		rexnal 2995	. . . . . 6 |- ( E. y e. B -. ( ph \/ ps ) <-> -. A. y e. B ( ph \/ ps ) )
7	5, 6	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( E. y e. B ( -. ph /\ -. ps ) <-> -. A. y e. B ( ph \/ ps ) )
8	7	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y e. B ( -. ph /\ -. ps ) <-> E. x e. A -. A. y e. B ( ph \/ ps ) )
9		reeanv 3107	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y e. B ( -. ph /\ -. ps ) <-> ( E. x e. A -. ph /\ E. y e. B -. ps ) )
10		rexnal 2995	. . . 4 |- ( E. x e. A -. A. y e. B ( ph \/ ps ) <-> -. A. x e. A A. y e. B ( ph \/ ps ) )
11	8, 9, 10	3bitr3ri 291	. . 3 |- ( -. A. x e. A A. y e. B ( ph \/ ps ) <-> ( E. x e. A -. ph /\ E. y e. B -. ps ) )
12		ioran 511	. . 3 |- ( -. ( A. x e. A ph \/ A. y e. B ps ) <-> ( -. A. x e. A ph /\ -. A. y e. B ps ) )
13	3, 11, 12	3bitr4i 292	. 2 |- ( -. A. x e. A A. y e. B ( ph \/ ps ) <-> -. ( A. x e. A ph \/ A. y e. B ps ) )
14	13	con4bii 311	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ( ph \/ ps ) <-> ( A. x e. A ph \/ A. y e. B ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   A.wral 2912   E.wrex 2913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-ral 2917  df-rex 2918

This theorem is referenced by:  ispridl2  33837