Theorem 2ralunsn 4423

Description: Double restricted quantification over the union of a set and a singleton, using implicit substitution. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2ralunsn.1	|- ( x = B -> ( ph <-> ch ) )
2ralunsn.2	|- ( y = B -> ( ph <-> ps ) )
2ralunsn.3	|- ( x = B -> ( ps <-> th ) )

Assertion

Ref	Expression
2ralunsn	|- ( B e. C -> ( A. x e. ( A u. { B } ) A. y e. ( A u. { B } ) ph <-> ( ( A. x e. A A. y e. A ph /\ A. x e. A ps ) /\ ( A. y e. A ch /\ th ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B, y   x, C   ch, x   ps, y   th, x

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   th( y)   A( y)   C( y)

Proof of Theorem 2ralunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ralunsn.2	. . . 4 |- ( y = B -> ( ph <-> ps ) )
2	1	ralunsn 4422	. . 3 |- ( B e. C -> ( A. y e. ( A u. { B } ) ph <-> ( A. y e. A ph /\ ps ) ) )
3	2	ralbidv 2986	. 2 |- ( B e. C -> ( A. x e. ( A u. { B } ) A. y e. ( A u. { B } ) ph <-> A. x e. ( A u. { B } ) ( A. y e. A ph /\ ps ) ) )
4		2ralunsn.1	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( ph <-> ch ) )
5	4	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A. y e. A ph <-> A. y e. A ch ) )
6		2ralunsn.3	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ps <-> th ) )
7	5, 6	anbi12d 747	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A. y e. A ph /\ ps ) <-> ( A. y e. A ch /\ th ) ) )
8	7	ralunsn 4422	. . 3 |- ( B e. C -> ( A. x e. ( A u. { B } ) ( A. y e. A ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ( A. y e. A ph /\ ps ) /\ ( A. y e. A ch /\ th ) ) ) )
9		r19.26 3064	. . . 4 |- ( A. x e. A ( A. y e. A ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A A. y e. A ph /\ A. x e. A ps ) )
10	9	anbi1i 731	. . 3 |- ( ( A. x e. A ( A. y e. A ph /\ ps ) /\ ( A. y e. A ch /\ th ) ) <-> ( ( A. x e. A A. y e. A ph /\ A. x e. A ps ) /\ ( A. y e. A ch /\ th ) ) )
11	8, 10	syl6bb 276	. 2 |- ( B e. C -> ( A. x e. ( A u. { B } ) ( A. y e. A ph /\ ps ) <-> ( ( A. x e. A A. y e. A ph /\ A. x e. A ps ) /\ ( A. y e. A ch /\ th ) ) ) )
12	3, 11	bitrd 268	1 |- ( B e. C -> ( A. x e. ( A u. { B } ) A. y e. ( A u. { B } ) ph <-> ( ( A. x e. A A. y e. A ph /\ A. x e. A ps ) /\ ( A. y e. A ch /\ th ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   {csn 4177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-v 3202  df-sbc 3436  df-un 3579  df-sn 4178

This theorem is referenced by: (None)