Theorem ax12inda 34233

Description: Induction step for constructing a substitution instance of ax-c15 34174 without using ax-c15 34174. Quantification case. (When z and y are distinct, ax12inda2 34232 may be used instead to avoid the dummy variable w in the proof.) (Contributed by NM, 24-Jan-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ax12inda.1	|- ( -. A. x x = w -> ( x = w -> ( ph -> A. x ( x = w -> ph ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ax12inda	|- ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, w   x, w   y, w   z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem ax12inda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax6ev 1890	. . 3 |- E. w w = y
2		ax12inda.1	. . . . . . 7 |- ( -. A. x x = w -> ( x = w -> ( ph -> A. x ( x = w -> ph ) ) ) )
3	2	ax12inda2 34232	. . . . . 6 |- ( -. A. x x = w -> ( x = w -> ( A. z ph -> A. x ( x = w -> A. z ph ) ) ) )
4		dveeq2-o 34218	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. x x = y -> ( w = y -> A. x w = y ) )
5	4	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ w = y ) -> A. x w = y )
6		hba1-o 34182	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x w = y -> A. x A. x w = y )
7		equequ2 1953	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( x = w <-> x = y ) )
8	7	sps-o 34193	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x w = y -> ( x = w <-> x = y ) )
9	6, 8	albidh 1793	. . . . . . . . 9 |- ( A. x w = y -> ( A. x x = w <-> A. x x = y ) )
10	9	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( A. x w = y -> ( -. A. x x = w <-> -. A. x x = y ) )
11	5, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ w = y ) -> ( -. A. x x = w <-> -. A. x x = y ) )
12	7	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ w = y ) -> ( x = w <-> x = y ) )
13	8	imbi1d 331	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x w = y -> ( ( x = w -> A. z ph ) <-> ( x = y -> A. z ph ) ) )
14	6, 13	albidh 1793	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x w = y -> ( A. x ( x = w -> A. z ph ) <-> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) )
15	5, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ w = y ) -> ( A. x ( x = w -> A. z ph ) <-> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) )
16	15	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ w = y ) -> ( ( A. z ph -> A. x ( x = w -> A. z ph ) ) <-> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) ) )
17	12, 16	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ w = y ) -> ( ( x = w -> ( A. z ph -> A. x ( x = w -> A. z ph ) ) ) <-> ( x = y -> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) ) ) )
18	11, 17	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = y /\ w = y ) -> ( ( -. A. x x = w -> ( x = w -> ( A. z ph -> A. x ( x = w -> A. z ph ) ) ) ) <-> ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) ) ) ) )
19	3, 18	mpbii 223	. . . . 5 |- ( ( -. A. x x = y /\ w = y ) -> ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) ) ) )
20	19	ex 450	. . . 4 |- ( -. A. x x = y -> ( w = y -> ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) ) ) ) )
21	20	exlimdv 1861	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> ( E. w w = y -> ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) ) ) ) )
22	1, 21	mpi 20	. 2 |- ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) ) ) )
23	22	pm2.43i 52	1 |- ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-c5 34168  ax-c4 34169  ax-c7 34170  ax-c10 34171  ax-c11 34172  ax-c9 34175  ax-c16 34177

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710

This theorem is referenced by: (None)