Theorem axextdfeq 31703

Description: A version of ax-ext 2602 for use with defined equality. (Contributed by Scott Fenton, 12-Dec-2010.)

Assertion

Ref	Expression
axextdfeq	|- E. z ( ( z e. x -> z e. y ) -> ( ( z e. y -> z e. x ) -> ( x e. w -> y e. w ) ) )

Proof of Theorem axextdfeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axextnd 9413	. . 3 |- E. z ( ( z e. x <-> z e. y ) -> x = y )
2		ax8 1996	. . . 4 |- ( x = y -> ( x e. w -> y e. w ) )
3	2	imim2i 16	. . 3 |- ( ( ( z e. x <-> z e. y ) -> x = y ) -> ( ( z e. x <-> z e. y ) -> ( x e. w -> y e. w ) ) )
4	1, 3	eximii 1764	. 2 |- E. z ( ( z e. x <-> z e. y ) -> ( x e. w -> y e. w ) )
5		biimpexp 31597	. . 3 |- ( ( ( z e. x <-> z e. y ) -> ( x e. w -> y e. w ) ) <-> ( ( z e. x -> z e. y ) -> ( ( z e. y -> z e. x ) -> ( x e. w -> y e. w ) ) ) )
6	5	exbii 1774	. 2 |- ( E. z ( ( z e. x <-> z e. y ) -> ( x e. w -> y e. w ) ) <-> E. z ( ( z e. x -> z e. y ) -> ( ( z e. y -> z e. x ) -> ( x e. w -> y e. w ) ) ) )
7	4, 6	mpbi 220	1 |- E. z ( ( z e. x -> z e. y ) -> ( ( z e. y -> z e. x ) -> ( x e. w -> y e. w ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   E.wex 1704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753

This theorem is referenced by: (None)