Theorem axextnd 9413

Description: A version of the Axiom of Extensionality with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 14-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
axextnd	|- E. x ( ( x e. y <-> x e. z ) -> y = z )

Proof of Theorem axextnd

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfnae 2318	. . . . . . . 8 |- F/ x -. A. x x = y
2		nfnae 2318	. . . . . . . 8 |- F/ x -. A. x x = z
3	1, 2	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ x ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
4		nfcvf 2788	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. x x = y -> F/_ x y )
5	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ x y )
6	5	nfcrd 2771	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x w e. y )
7		nfcvf 2788	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. x x = z -> F/_ x z )
8	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ x z )
9	8	nfcrd 2771	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x w e. z )
10	6, 9	nfbid 1832	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( w e. y <-> w e. z ) )
11		elequ1 1997	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( w e. y <-> x e. y ) )
12		elequ1 1997	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( w e. z <-> x e. z ) )
13	11, 12	bibi12d 335	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( w e. y <-> w e. z ) <-> ( x e. y <-> x e. z ) ) )
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( w = x -> ( ( w e. y <-> w e. z ) <-> ( x e. y <-> x e. z ) ) ) )
15	3, 10, 14	cbvald 2277	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( A. w ( w e. y <-> w e. z ) <-> A. x ( x e. y <-> x e. z ) ) )
16		axext3 2604	. . . . . 6 |- ( A. w ( w e. y <-> w e. z ) -> y = z )
17	15, 16	syl6bir 244	. . . . 5 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( A. x ( x e. y <-> x e. z ) -> y = z ) )
18		19.8a 2052	. . . . 5 |- ( y = z -> E. x y = z )
19	17, 18	syl6 35	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( A. x ( x e. y <-> x e. z ) -> E. x y = z ) )
20	19	ex 450	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = z -> ( A. x ( x e. y <-> x e. z ) -> E. x y = z ) ) )
21		ax6e 2250	. . . . 5 |- E. x x = z
22		ax7 1943	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x = z -> y = z ) )
23	22	aleximi 1759	. . . . 5 |- ( A. x x = y -> ( E. x x = z -> E. x y = z ) )
24	21, 23	mpi 20	. . . 4 |- ( A. x x = y -> E. x y = z )
25	24	a1d 25	. . 3 |- ( A. x x = y -> ( A. x ( x e. y <-> x e. z ) -> E. x y = z ) )
26		ax6e 2250	. . . . 5 |- E. x x = y
27		ax7 1943	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x = y -> z = y ) )
28		equcomi 1944	. . . . . . 7 |- ( z = y -> y = z )
29	27, 28	syl6 35	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x = y -> y = z ) )
30	29	aleximi 1759	. . . . 5 |- ( A. x x = z -> ( E. x x = y -> E. x y = z ) )
31	26, 30	mpi 20	. . . 4 |- ( A. x x = z -> E. x y = z )
32	31	a1d 25	. . 3 |- ( A. x x = z -> ( A. x ( x e. y <-> x e. z ) -> E. x y = z ) )
33	20, 25, 32	pm2.61ii 177	. 2 |- ( A. x ( x e. y <-> x e. z ) -> E. x y = z )
34	33	19.35ri 1807	1 |- E. x ( ( x e. y <-> x e. z ) -> y = z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   F/_wnfc 2751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753

This theorem is referenced by:  zfcndext  9435  axextprim  31578  axextdfeq  31703  axextndbi  31710