Theorem axrep3 4774

Description: Axiom of Replacement slightly strengthened from axrep2 4773; w may occur free in ph. (Contributed by NM, 2-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
axrep3	|- E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) )

Distinct variable group:   x, w, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem axrep3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 2027	. . . 4 |- F/ y E. y A. z ( ph -> z = y )
2		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ y z e. x
3		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ y x e. w
4		nfa1 2028	. . . . . . . 8 |- F/ y A. y ph
5	3, 4	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ y ( x e. w /\ A. y ph )
6	5	nfex 2154	. . . . . 6 |- F/ y E. x ( x e. w /\ A. y ph )
7	2, 6	nfbi 1833	. . . . 5 |- F/ y ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) )
8	7	nfal 2153	. . . 4 |- F/ y A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) )
9	1, 8	nfim 1825	. . 3 |- F/ y ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) )
10	9	nfex 2154	. 2 |- F/ y E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) )
11		elequ2 2004	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( x e. y <-> x e. w ) )
12	11	anbi1d 741	. . . . . . 7 |- ( y = w -> ( ( x e. y /\ A. y ph ) <-> ( x e. w /\ A. y ph ) ) )
13	12	exbidv 1850	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( E. x ( x e. y /\ A. y ph ) <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) )
14	13	bibi2d 332	. . . . 5 |- ( y = w -> ( ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) <-> ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) ) )
15	14	albidv 1849	. . . 4 |- ( y = w -> ( A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) <-> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) ) )
16	15	imbi2d 330	. . 3 |- ( y = w -> ( ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) ) <-> ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) ) ) )
17	16	exbidv 1850	. 2 |- ( y = w -> ( E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) ) <-> E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) ) ) )
18		axrep2 4773	. 2 |- E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) )
19	10, 17, 18	chvar 2262	1 |- E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-rep 4771

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710

This theorem is referenced by:  axrep4  4775