Theorem axrep4 4775

Description: A more traditional version of the Axiom of Replacement. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
axrep4.1	|- F/ z ph

Assertion

Ref	Expression
axrep4	|- ( A. x E. z A. y ( ph -> y = z ) -> E. z A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem axrep4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axrep3 4774	. . 3 |- E. x ( E. z A. y ( ph -> y = z ) -> A. y ( y e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. z ph ) ) )
2	1	19.35i 1806	. 2 |- ( A. x E. z A. y ( ph -> y = z ) -> E. x A. y ( y e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. z ph ) ) )
3		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ z y e. x
4		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ z x e. w
5		nfa1 2028	. . . . . . 7 |- F/ z A. z ph
6	4, 5	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ z ( x e. w /\ A. z ph )
7	6	nfex 2154	. . . . 5 |- F/ z E. x ( x e. w /\ A. z ph )
8	3, 7	nfbi 1833	. . . 4 |- F/ z ( y e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. z ph ) )
9	8	nfal 2153	. . 3 |- F/ z A. y ( y e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. z ph ) )
10		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ x y e. z
11		nfe1 2027	. . . . 5 |- F/ x E. x ( x e. w /\ ph )
12	10, 11	nfbi 1833	. . . 4 |- F/ x ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ph ) )
13	12	nfal 2153	. . 3 |- F/ x A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ph ) )
14		elequ2 2004	. . . . 5 |- ( x = z -> ( y e. x <-> y e. z ) )
15		axrep4.1	. . . . . . . . 9 |- F/ z ph
16	15	19.3 2069	. . . . . . . 8 |- ( A. z ph <-> ph )
17	16	anbi2i 730	. . . . . . 7 |- ( ( x e. w /\ A. z ph ) <-> ( x e. w /\ ph ) )
18	17	exbii 1774	. . . . . 6 |- ( E. x ( x e. w /\ A. z ph ) <-> E. x ( x e. w /\ ph ) )
19	18	a1i 11	. . . . 5 |- ( x = z -> ( E. x ( x e. w /\ A. z ph ) <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) )
20	14, 19	bibi12d 335	. . . 4 |- ( x = z -> ( ( y e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. z ph ) ) <-> ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) ) )
21	20	albidv 1849	. . 3 |- ( x = z -> ( A. y ( y e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. z ph ) ) <-> A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) ) )
22	9, 13, 21	cbvex 2272	. 2 |- ( E. x A. y ( y e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. z ph ) ) <-> E. z A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) )
23	2, 22	sylib 208	1 |- ( A. x E. z A. y ( ph -> y = z ) -> E. z A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   F/wnf 1708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-rep 4771

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710

This theorem is referenced by:  axrep5  4776  funimaexg  5975