Theorem bj-ceqsalt1 32874

Description: The FOL content of ceqsalt 3228. Lemma for bj-ceqsalt 32875 and bj-ceqsaltv 32876. (TODO: consider removing if it does not add anything to bj-ceqsalt0 32873.) (Contributed by BJ, 26-Sep-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-ceqsalt1.1	|- ( th -> E. x ch )

Assertion

Ref	Expression
bj-ceqsalt1	|- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> ( A. x ( ch -> ph ) <-> ps ) )

Proof of Theorem bj-ceqsalt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-ceqsalt1.1	. . . 4 |- ( th -> E. x ch )
2	1	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> E. x ch )
3		biimp 205	. . . . . . 7 |- ( ( ph <-> ps ) -> ( ph -> ps ) )
4	3	imim3i 64	. . . . . 6 |- ( ( ch -> ( ph <-> ps ) ) -> ( ( ch -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) )
5	4	al2imi 1743	. . . . 5 |- ( A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) -> ( A. x ( ch -> ph ) -> A. x ( ch -> ps ) ) )
6	5	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> ( A. x ( ch -> ph ) -> A. x ( ch -> ps ) ) )
7		19.23t 2079	. . . . 5 |- ( F/ x ps -> ( A. x ( ch -> ps ) <-> ( E. x ch -> ps ) ) )
8	7	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> ( A. x ( ch -> ps ) <-> ( E. x ch -> ps ) ) )
9	6, 8	sylibd 229	. . 3 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> ( A. x ( ch -> ph ) -> ( E. x ch -> ps ) ) )
10	2, 9	mpid 44	. 2 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> ( A. x ( ch -> ph ) -> ps ) )
11		biimpr 210	. . . . . . 7 |- ( ( ph <-> ps ) -> ( ps -> ph ) )
12	11	imim2i 16	. . . . . 6 |- ( ( ch -> ( ph <-> ps ) ) -> ( ch -> ( ps -> ph ) ) )
13	12	com23 86	. . . . 5 |- ( ( ch -> ( ph <-> ps ) ) -> ( ps -> ( ch -> ph ) ) )
14	13	alimi 1739	. . . 4 |- ( A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) -> A. x ( ps -> ( ch -> ph ) ) )
15	14	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> A. x ( ps -> ( ch -> ph ) ) )
16		19.21t 2073	. . . 4 |- ( F/ x ps -> ( A. x ( ps -> ( ch -> ph ) ) <-> ( ps -> A. x ( ch -> ph ) ) ) )
17	16	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> ( A. x ( ps -> ( ch -> ph ) ) <-> ( ps -> A. x ( ch -> ph ) ) ) )
18	15, 17	mpbid 222	. 2 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> ( ps -> A. x ( ch -> ph ) ) )
19	10, 18	impbid 202	1 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> ( A. x ( ch -> ph ) <-> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   A.wal 1481   E.wex 1704   F/wnf 1708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-12 2047

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-ex 1705  df-nf 1710

This theorem is referenced by: (None)