Theorem bnj1176 31073

Description: Technical lemma for bnj69 31078. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1176.51	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( R Fr A /\ C C_ A /\ C =/= (/) /\ C e. _V ) )
bnj1176.52	|- ( ( R Fr A /\ C C_ A /\ C =/= (/) /\ C e. _V ) -> E. z e. C A. w e. C -. w R z )

Assertion

Ref	Expression
bnj1176	|- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, C   ph, w, z   ps, w, z

Allowed substitution hints:   th( z, w)   A( z, w)   C( z)   R( z, w)

Proof of Theorem bnj1176

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1176.51	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( R Fr A /\ C C_ A /\ C =/= (/) /\ C e. _V ) )
2		bnj1176.52	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Fr A /\ C C_ A /\ C =/= (/) /\ C e. _V ) -> E. z e. C A. w e. C -. w R z )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. z e. C A. w e. C -. w R z )
4		df-ral 2917	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. C -. w R z <-> A. w ( w e. C -> -. w R z ) )
5	4	rexbii 3041	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. C A. w e. C -. w R z <-> E. z e. C A. w ( w e. C -> -. w R z ) )
6	3, 5	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. z e. C A. w ( w e. C -> -. w R z ) )
7		df-rex 2918	. . . . . . 7 |- ( E. z e. C A. w ( w e. C -> -. w R z ) <-> E. z ( z e. C /\ A. w ( w e. C -> -. w R z ) ) )
8	6, 7	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. z ( z e. C /\ A. w ( w e. C -> -. w R z ) ) )
9		19.28v 1909	. . . . . . 7 |- ( A. w ( z e. C /\ ( w e. C -> -. w R z ) ) <-> ( z e. C /\ A. w ( w e. C -> -. w R z ) ) )
10	9	exbii 1774	. . . . . 6 |- ( E. z A. w ( z e. C /\ ( w e. C -> -. w R z ) ) <-> E. z ( z e. C /\ A. w ( w e. C -> -. w R z ) ) )
11	8, 10	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. z A. w ( z e. C /\ ( w e. C -> -. w R z ) ) )
12		19.37v 1910	. . . . 5 |- ( E. z ( ( ph /\ ps ) -> A. w ( z e. C /\ ( w e. C -> -. w R z ) ) ) <-> ( ( ph /\ ps ) -> E. z A. w ( z e. C /\ ( w e. C -> -. w R z ) ) ) )
13	11, 12	mpbir 221	. . . 4 |- E. z ( ( ph /\ ps ) -> A. w ( z e. C /\ ( w e. C -> -. w R z ) ) )
14		19.21v 1868	. . . . 5 |- ( A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( w e. C -> -. w R z ) ) ) <-> ( ( ph /\ ps ) -> A. w ( z e. C /\ ( w e. C -> -. w R z ) ) ) )
15	14	exbii 1774	. . . 4 |- ( E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( w e. C -> -. w R z ) ) ) <-> E. z ( ( ph /\ ps ) -> A. w ( z e. C /\ ( w e. C -> -. w R z ) ) ) )
16	13, 15	mpbir 221	. . 3 |- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( w e. C -> -. w R z ) ) )
17		con2b 349	. . . . . . 7 |- ( ( w e. C -> -. w R z ) <-> ( w R z -> -. w e. C ) )
18	17	anbi2i 730	. . . . . 6 |- ( ( z e. C /\ ( w e. C -> -. w R z ) ) <-> ( z e. C /\ ( w R z -> -. w e. C ) ) )
19	18	imbi2i 326	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( w e. C -> -. w R z ) ) ) <-> ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( w R z -> -. w e. C ) ) ) )
20	19	albii 1747	. . . 4 |- ( A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( w e. C -> -. w R z ) ) ) <-> A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( w R z -> -. w e. C ) ) ) )
21	20	exbii 1774	. . 3 |- ( E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( w e. C -> -. w R z ) ) ) <-> E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( w R z -> -. w e. C ) ) ) )
22	16, 21	mpbi 220	. 2 |- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( w R z -> -. w e. C ) ) )
23		ax-1 6	. . . . 5 |- ( ( w R z -> -. w e. C ) -> ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) )
24	23	anim2i 593	. . . 4 |- ( ( z e. C /\ ( w R z -> -. w e. C ) ) -> ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) ) )
25	24	imim2i 16	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( w R z -> -. w e. C ) ) ) -> ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) ) ) )
26	25	alimi 1739	. 2 |- ( A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( w R z -> -. w e. C ) ) ) -> A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) ) ) )
27	22, 26	bnj101 30789	1 |- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. C /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. C ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Fr wfr 5070   /\ w-bnj17 30752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 386  df-ex 1705  df-ral 2917  df-rex 2918

This theorem is referenced by:  bnj1190  31076