Theorem bnj1186 31075

Description: Technical lemma for bnj69 31078. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnj1186.1	|- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj1186	|- ( ( ph /\ ps ) -> E. z e. B A. w e. B -. w R z )

Distinct variable groups:   w, B   ph, w, z   ps, w, z

Allowed substitution hints:   B( z)   R( z, w)

Proof of Theorem bnj1186

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1186.1	. . . . . 6 |- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) )
2		19.21v 1868	. . . . . . 7 |- ( A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) ) <-> ( ( ph /\ ps ) -> A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) ) )
3	2	exbii 1774	. . . . . 6 |- ( E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) ) <-> E. z ( ( ph /\ ps ) -> A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) ) )
4	1, 3	mpbi 220	. . . . 5 |- E. z ( ( ph /\ ps ) -> A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) )
5	4	19.37iv 1911	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. z A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) )
6		19.28v 1909	. . . . 5 |- ( A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) <-> ( z e. B /\ A. w ( w e. B -> -. w R z ) ) )
7	6	exbii 1774	. . . 4 |- ( E. z A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) <-> E. z ( z e. B /\ A. w ( w e. B -> -. w R z ) ) )
8	5, 7	sylib 208	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. z ( z e. B /\ A. w ( w e. B -> -. w R z ) ) )
9		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. w e. B -. w R z <-> A. w ( w e. B -> -. w R z ) )
10	9	anbi2i 730	. . . 4 |- ( ( z e. B /\ A. w e. B -. w R z ) <-> ( z e. B /\ A. w ( w e. B -> -. w R z ) ) )
11	10	exbii 1774	. . 3 |- ( E. z ( z e. B /\ A. w e. B -. w R z ) <-> E. z ( z e. B /\ A. w ( w e. B -> -. w R z ) ) )
12	8, 11	sylibr 224	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. z ( z e. B /\ A. w e. B -. w R z ) )
13		df-rex 2918	. 2 |- ( E. z e. B A. w e. B -. w R z <-> E. z ( z e. B /\ A. w e. B -. w R z ) )
14	12, 13	sylibr 224	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. z e. B A. w e. B -. w R z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 386  df-ex 1705  df-ral 2917  df-rex 2918

This theorem is referenced by:  bnj1190  31076