Theorem bnj916 31003

Description: Technical lemma for bnj69 31078. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj916.1	|- ( ph <-> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
bnj916.2	|- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
bnj916.3	|- D = ( om \ { (/) } )
bnj916.4	|- B = { f | E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) }
bnj916.5	|- ( ch <-> ( f Fn n /\ ph /\ ps ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj916	|- ( y e. trCl ( X , A , R ) -> E. f E. n E. i ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, i, n, y   D, i   R, f, i, n, y   f, X, i, n, y   ph, i

Allowed substitution hints:   ph( y, f, n)   ps( y, f, i, n)   ch( y, f, i, n)   B( y, f, i, n)   D( y, f, n)

Proof of Theorem bnj916

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj256 30772	. . . . . 6 |- ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
2	1	2exbii 1775	. . . . 5 |- ( E. n E. i ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> E. n E. i ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
3		19.41v 1914	. . . . . 6 |- ( E. n ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ E. i ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) <-> ( E. n ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ E. i ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
4		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ i n e. D
5		bnj916.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph <-> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
6		bnj916.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
7	5, 6	bnj911 31002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f Fn n /\ ph /\ ps ) -> A. i ( f Fn n /\ ph /\ ps ) )
8	7	nf5i 2024	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( f Fn n /\ ph /\ ps )
9	4, 8	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ i ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) )
10	9	19.42 2105	. . . . . . 7 |- ( E. i ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) <-> ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ E. i ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
11	10	exbii 1774	. . . . . 6 |- ( E. n E. i ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) <-> E. n ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ E. i ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
12		df-rex 2918	. . . . . . 7 |- ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) <-> E. n ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) )
13		df-rex 2918	. . . . . . 7 |- ( E. i e. dom f y e. ( f ` i ) <-> E. i ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) )
14	12, 13	anbi12i 733	. . . . . 6 |- ( ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) <-> ( E. n ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ E. i ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
15	3, 11, 14	3bitr4i 292	. . . . 5 |- ( E. n E. i ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) <-> ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) )
16	2, 15	bitri 264	. . . 4 |- ( E. n E. i ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) )
17	16	exbii 1774	. . 3 |- ( E. f E. n E. i ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> E. f ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) )
18		bnj916.5	. . . . . . 7 |- ( ch <-> ( f Fn n /\ ph /\ ps ) )
19	18	3anbi2i 1254	. . . . . 6 |- ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f ) <-> ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f ) )
20	19	anbi1i 731	. . . . 5 |- ( ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f ) /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f ) /\ y e. ( f ` i ) ) )
21		df-bnj17 30753	. . . . 5 |- ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f ) /\ y e. ( f ` i ) ) )
22		df-bnj17 30753	. . . . 5 |- ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f ) /\ y e. ( f ` i ) ) )
23	20, 21, 22	3bitr4i 292	. . . 4 |- ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) )
24	23	3exbii 1776	. . 3 |- ( E. f E. n E. i ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> E. f E. n E. i ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) )
25		bnj916.3	. . . . . . 7 |- D = ( om \ { (/) } )
26		bnj916.4	. . . . . . 7 |- B = { f | E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) }
27	5, 6, 25, 26	bnj882 30996	. . . . . 6 |- trCl ( X , A , R ) = U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i )
28	27	eleq2i 2693	. . . . 5 |- ( y e. trCl ( X , A , R ) <-> y e. U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i ) )
29		eliun 4524	. . . . 5 |- ( y e. U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. f e. B y e. U_ i e. dom f ( f ` i ) )
30		eliun 4524	. . . . . 6 |- ( y e. U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. i e. dom f y e. ( f ` i ) )
31	30	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. f e. B y e. U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. f e. B E. i e. dom f y e. ( f ` i ) )
32	28, 29, 31	3bitri 286	. . . 4 |- ( y e. trCl ( X , A , R ) <-> E. f e. B E. i e. dom f y e. ( f ` i ) )
33		df-rex 2918	. . . 4 |- ( E. f e. B E. i e. dom f y e. ( f ` i ) <-> E. f ( f e. B /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) )
34	26	abeq2i 2735	. . . . . 6 |- ( f e. B <-> E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) )
35	34	anbi1i 731	. . . . 5 |- ( ( f e. B /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) <-> ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) )
36	35	exbii 1774	. . . 4 |- ( E. f ( f e. B /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) <-> E. f ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) )
37	32, 33, 36	3bitri 286	. . 3 |- ( y e. trCl ( X , A , R ) <-> E. f ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) )
38	17, 24, 37	3bitr4ri 293	. 2 |- ( y e. trCl ( X , A , R ) <-> E. f E. n E. i ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) )
39		bnj643 30819	. . . . . 6 |- ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) -> ch )
40	18	bnj564 30814	. . . . . . 7 |- ( ch -> dom f = n )
41	40	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ch -> ( i e. dom f <-> i e. n ) )
42		anbi1 743	. . . . . . 7 |- ( ( i e. dom f <-> i e. n ) -> ( ( i e. dom f /\ ( n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) ) <-> ( i e. n /\ ( n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) ) ) )
43		bnj334 30779	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( i e. dom f /\ n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) )
44		bnj252 30769	. . . . . . . 8 |- ( ( i e. dom f /\ n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( i e. dom f /\ ( n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
45	43, 44	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( i e. dom f /\ ( n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
46		bnj334 30779	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( i e. n /\ n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) )
47		bnj252 30769	. . . . . . . 8 |- ( ( i e. n /\ n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( i e. n /\ ( n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
48	46, 47	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( i e. n /\ ( n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
49	42, 45, 48	3bitr4g 303	. . . . . 6 |- ( ( i e. dom f <-> i e. n ) -> ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
50	39, 41, 49	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) -> ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
51	50	ibi 256	. . . 4 |- ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) -> ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) )
52	51	2eximi 1763	. . 3 |- ( E. n E. i ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) -> E. n E. i ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) )
53	52	eximi 1762	. 2 |- ( E. f E. n E. i ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) -> E. f E. n E. i ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) )
54	38, 53	sylbi 207	1 |- ( y e. trCl ( X , A , R ) -> E. f E. n E. i ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   (/)c0 3915   {csn 4177   U_ciun 4520   dom cdm 5114   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   omcom 7065   /\ w-bnj17 30752   predc-bnj14 30754   trClc-bnj18 30760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-iun 4522  df-fn 5891  df-bnj17 30753  df-bnj18 30761

This theorem is referenced by:  bnj917  31004