Theorem eliin2f 39287

Description: Membership in indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eliin2f.1	|- F/_ x B

Assertion

Ref	Expression
eliin2f	|- ( B =/= (/) -> ( A e. |^|_ x e. B C <-> A. x e. B A e. C ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem eliin2f

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliin 4525	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A e. |^|_ x e. B C <-> A. x e. B A e. C ) )
2	1	adantl 482	. 2 |- ( ( B =/= (/) /\ A e. _V ) -> ( A e. |^|_ x e. B C <-> A. x e. B A e. C ) )
3		prcnel 3218	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> -. A e. |^|_ x e. B C )
4	3	adantl 482	. . 3 |- ( ( B =/= (/) /\ -. A e. _V ) -> -. A e. |^|_ x e. B C )
5		n0 3931	. . . . . . . . 9 |- ( B =/= (/) <-> E. y y e. B )
6	5	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( B =/= (/) -> E. y y e. B )
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( B =/= (/) /\ -. A e. _V ) -> E. y y e. B )
8		prcnel 3218	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A e. _V -> -. A e. [_ y / x ]_ C )
9	8	a1d 25	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. _V -> ( y e. B -> -. A e. [_ y / x ]_ C ) )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( B =/= (/) /\ -. A e. _V ) -> ( y e. B -> -. A e. [_ y / x ]_ C ) )
11	10	ancld 576	. . . . . . . 8 |- ( ( B =/= (/) /\ -. A e. _V ) -> ( y e. B -> ( y e. B /\ -. A e. [_ y / x ]_ C ) ) )
12	11	eximdv 1846	. . . . . . 7 |- ( ( B =/= (/) /\ -. A e. _V ) -> ( E. y y e. B -> E. y ( y e. B /\ -. A e. [_ y / x ]_ C ) ) )
13	7, 12	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( B =/= (/) /\ -. A e. _V ) -> E. y ( y e. B /\ -. A e. [_ y / x ]_ C ) )
14		df-rex 2918	. . . . . 6 |- ( E. y e. B -. A e. [_ y / x ]_ C <-> E. y ( y e. B /\ -. A e. [_ y / x ]_ C ) )
15	13, 14	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( B =/= (/) /\ -. A e. _V ) -> E. y e. B -. A e. [_ y / x ]_ C )
16		eliin2f.1	. . . . . 6 |- F/_ x B
17		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ y B
18		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ y -. A e. C
19		nfcsb1v 3549	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ y / x ]_ C
20	19	nfel2 2781	. . . . . . 7 |- F/ x A e. [_ y / x ]_ C
21	20	nfn 1784	. . . . . 6 |- F/ x -. A e. [_ y / x ]_ C
22		csbeq1a 3542	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> C = [_ y / x ]_ C )
23	22	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( A e. C <-> A e. [_ y / x ]_ C ) )
24	23	notbid 308	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( -. A e. C <-> -. A e. [_ y / x ]_ C ) )
25	16, 17, 18, 21, 24	cbvrexf 3166	. . . . 5 |- ( E. x e. B -. A e. C <-> E. y e. B -. A e. [_ y / x ]_ C )
26	15, 25	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( B =/= (/) /\ -. A e. _V ) -> E. x e. B -. A e. C )
27		rexnal 2995	. . . 4 |- ( E. x e. B -. A e. C <-> -. A. x e. B A e. C )
28	26, 27	sylib 208	. . 3 |- ( ( B =/= (/) /\ -. A e. _V ) -> -. A. x e. B A e. C )
29	4, 28	2falsed 366	. 2 |- ( ( B =/= (/) /\ -. A e. _V ) -> ( A e. |^|_ x e. B C <-> A. x e. B A e. C ) )
30	2, 29	pm2.61dan 832	1 |- ( B =/= (/) -> ( A e. |^|_ x e. B C <-> A. x e. B A e. C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   (/)c0 3915   |^|_ciin 4521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-nul 3916  df-iin 4523

This theorem is referenced by:  eliin2  39299