Theorem eliuniin2 39303

Description: Indexed union of indexed intersections. See eliincex 39293 for a counterexample showing that the precondition C =/= (/) cannot be simply dropped. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliuniin2.1	|- F/_ x C
eliuniin2.2	|- A = U_ x e. B |^|_ y e. C D

Assertion

Ref	Expression
eliuniin2	|- ( C =/= (/) -> ( Z e. A <-> E. x e. B A. y e. C Z e. D ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, C   x, Z   y, Z

Allowed substitution hints:   A( y)   B( x, y)   C( x)   D( x, y)

Proof of Theorem eliuniin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliuniin2.2	. . . . 5 |- A = U_ x e. B |^|_ y e. C D
2	1	eleq2i 2693	. . . 4 |- ( Z e. A <-> Z e. U_ x e. B |^|_ y e. C D )
3		eliun 4524	. . . 4 |- ( Z e. U_ x e. B |^|_ y e. C D <-> E. x e. B Z e. |^|_ y e. C D )
4	2, 3	sylbb 209	. . 3 |- ( Z e. A -> E. x e. B Z e. |^|_ y e. C D )
5		eliin 4525	. . . . . 6 |- ( Z e. |^|_ y e. C D -> ( Z e. |^|_ y e. C D <-> A. y e. C Z e. D ) )
6	5	ibi 256	. . . . 5 |- ( Z e. |^|_ y e. C D -> A. y e. C Z e. D )
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( Z e. A -> ( Z e. |^|_ y e. C D -> A. y e. C Z e. D ) )
8	7	reximdv 3016	. . 3 |- ( Z e. A -> ( E. x e. B Z e. |^|_ y e. C D -> E. x e. B A. y e. C Z e. D ) )
9	4, 8	mpd 15	. 2 |- ( Z e. A -> E. x e. B A. y e. C Z e. D )
10		eliuniin2.1	. . . 4 |- F/_ x C
11		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ x (/)
12	10, 11	nfne 2894	. . 3 |- F/ x C =/= (/)
13		nfv 1843	. . 3 |- F/ x Z e. A
14		simp2 1062	. . . . . . 7 |- ( ( C =/= (/) /\ x e. B /\ A. y e. C Z e. D ) -> x e. B )
15		eliin2 39299	. . . . . . . 8 |- ( C =/= (/) -> ( Z e. |^|_ y e. C D <-> A. y e. C Z e. D ) )
16	15	biimpar 502	. . . . . . 7 |- ( ( C =/= (/) /\ A. y e. C Z e. D ) -> Z e. |^|_ y e. C D )
17		rspe 3003	. . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ Z e. |^|_ y e. C D ) -> E. x e. B Z e. |^|_ y e. C D )
18	14, 16, 17	3imp3i2an 1278	. . . . . 6 |- ( ( C =/= (/) /\ x e. B /\ A. y e. C Z e. D ) -> E. x e. B Z e. |^|_ y e. C D )
19	18, 3	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( C =/= (/) /\ x e. B /\ A. y e. C Z e. D ) -> Z e. U_ x e. B |^|_ y e. C D )
20	19, 2	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( C =/= (/) /\ x e. B /\ A. y e. C Z e. D ) -> Z e. A )
21	20	3exp 1264	. . 3 |- ( C =/= (/) -> ( x e. B -> ( A. y e. C Z e. D -> Z e. A ) ) )
22	12, 13, 21	rexlimd 3026	. 2 |- ( C =/= (/) -> ( E. x e. B A. y e. C Z e. D -> Z e. A ) )
23	9, 22	impbid2 216	1 |- ( C =/= (/) -> ( Z e. A <-> E. x e. B A. y e. C Z e. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-nul 3916  df-iun 4522  df-iin 4523

This theorem is referenced by: (None)