Theorem iunssf 39263

Description: Subset theorem for an indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
iunssf.1	|- F/_ x C

Assertion

Ref	Expression
iunssf	|- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )

Proof of Theorem iunssf

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 4522	. . 3 |- U_ x e. A B = { y | E. x e. A y e. B }
2	1	sseq1i 3629	. 2 |- ( U_ x e. A B C_ C <-> { y | E. x e. A y e. B } C_ C )
3		abss 3671	. 2 |- ( { y | E. x e. A y e. B } C_ C <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
4		dfss2 3591	. . . 4 |- ( B C_ C <-> A. y ( y e. B -> y e. C ) )
5	4	ralbii 2980	. . 3 |- ( A. x e. A B C_ C <-> A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) )
6		ralcom4 3224	. . 3 |- ( A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) )
7		iunssf.1	. . . . . 6 |- F/_ x C
8	7	nfcri 2758	. . . . 5 |- F/ x y e. C
9	8	r19.23 3022	. . . 4 |- ( A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
10	9	albii 1747	. . 3 |- ( A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
11	5, 6, 10	3bitrri 287	. 2 |- ( A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) <-> A. x e. A B C_ C )
12	2, 3, 11	3bitri 286	1 |- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   e. wcel 1990   {cab 2608   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   U_ciun 4520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-iun 4522

This theorem is referenced by:  iunmapss  39407