Theorem raaan 4082

Description: Rearrange restricted quantifiers. (Contributed by NM, 26-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
raaan.1	|- F/ y ph
raaan.2	|- F/ x ps

Assertion

Ref	Expression
raaan	|- ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y)

Proof of Theorem raaan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rzal 4073	. . 3 |- ( A = (/) -> A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) )
2		rzal 4073	. . 3 |- ( A = (/) -> A. x e. A ph )
3		rzal 4073	. . 3 |- ( A = (/) -> A. y e. A ps )
4		pm5.1 902	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) /\ ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl12anc 1324	. 2 |- ( A = (/) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) )
6		raaan.1	. . . . 5 |- F/ y ph
7	6	r19.28z 4063	. . . 4 |- ( A =/= (/) -> ( A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( ph /\ A. y e. A ps ) ) )
8	7	ralbidv 2986	. . 3 |- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) ) )
9		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x A
10		raaan.2	. . . . 5 |- F/ x ps
11	9, 10	nfral 2945	. . . 4 |- F/ x A. y e. A ps
12	11	r19.27z 4070	. . 3 |- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) )
13	8, 12	bitrd 268	. 2 |- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) )
14	5, 13	pm2.61ine 2877	1 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   =/= wne 2794   A.wral 2912   (/)c0 3915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-v 3202  df-dif 3577  df-nul 3916

This theorem is referenced by:  raaanv  4083