Theorem ralxpxfr2d 3327

Description: Transfer a universal quantifier between one variable with pair-like semantics and two. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralxpxfr2d.a	|- A e. _V
ralxpxfr2d.b	|- ( ph -> ( x e. B <-> E. y e. C E. z e. D x = A ) )
ralxpxfr2d.c	|- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
ralxpxfr2d	|- ( ph -> ( A. x e. B ps <-> A. y e. C A. z e. D ch ) )

Distinct variable groups:   ph, x, z   ph, y, x   ps, y   ps, z   x, A   x, C   x, D   ch, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y, z)   A( y, z)   B( x, y, z)   C( y, z)   D( y, z)

Proof of Theorem ralxpxfr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2917	. . . 4 |- ( A. x e. B ps <-> A. x ( x e. B -> ps ) )
2		ralxpxfr2d.b	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. B <-> E. y e. C E. z e. D x = A ) )
3	2	imbi1d 331	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. B -> ps ) <-> ( E. y e. C E. z e. D x = A -> ps ) ) )
4	3	albidv 1849	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x ( x e. B -> ps ) <-> A. x ( E. y e. C E. z e. D x = A -> ps ) ) )
5	1, 4	syl5bb 272	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. B ps <-> A. x ( E. y e. C E. z e. D x = A -> ps ) ) )
6		ralcom4 3224	. . . 4 |- ( A. y e. C A. x A. z e. D ( x = A -> ps ) <-> A. x A. y e. C A. z e. D ( x = A -> ps ) )
7		ralcom4 3224	. . . . 5 |- ( A. z e. D A. x ( x = A -> ps ) <-> A. x A. z e. D ( x = A -> ps ) )
8	7	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. y e. C A. z e. D A. x ( x = A -> ps ) <-> A. y e. C A. x A. z e. D ( x = A -> ps ) )
9		r19.23v 3023	. . . . . . 7 |- ( A. z e. D ( x = A -> ps ) <-> ( E. z e. D x = A -> ps ) )
10	9	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. y e. C A. z e. D ( x = A -> ps ) <-> A. y e. C ( E. z e. D x = A -> ps ) )
11		r19.23v 3023	. . . . . 6 |- ( A. y e. C ( E. z e. D x = A -> ps ) <-> ( E. y e. C E. z e. D x = A -> ps ) )
12	10, 11	bitr2i 265	. . . . 5 |- ( ( E. y e. C E. z e. D x = A -> ps ) <-> A. y e. C A. z e. D ( x = A -> ps ) )
13	12	albii 1747	. . . 4 |- ( A. x ( E. y e. C E. z e. D x = A -> ps ) <-> A. x A. y e. C A. z e. D ( x = A -> ps ) )
14	6, 8, 13	3bitr4ri 293	. . 3 |- ( A. x ( E. y e. C E. z e. D x = A -> ps ) <-> A. y e. C A. z e. D A. x ( x = A -> ps ) )
15	5, 14	syl6bb 276	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. B ps <-> A. y e. C A. z e. D A. x ( x = A -> ps ) ) )
16		ralxpxfr2d.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
17	16	pm5.74da 723	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x = A -> ps ) <-> ( x = A -> ch ) ) )
18	17	albidv 1849	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x ( x = A -> ps ) <-> A. x ( x = A -> ch ) ) )
19		ralxpxfr2d.a	. . . . 5 |- A e. _V
20		biidd 252	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ch <-> ch ) )
21	19, 20	ceqsalv 3233	. . . 4 |- ( A. x ( x = A -> ch ) <-> ch )
22	18, 21	syl6bb 276	. . 3 |- ( ph -> ( A. x ( x = A -> ps ) <-> ch ) )
23	22	2ralbidv 2989	. 2 |- ( ph -> ( A. y e. C A. z e. D A. x ( x = A -> ps ) <-> A. y e. C A. z e. D ch ) )
24	15, 23	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( A. x e. B ps <-> A. y e. C A. z e. D ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202

This theorem is referenced by:  ralxpmap  7907