Theorem rspsbc2VD 39090

Description: Virtual deduction proof of rspsbc2 38744. The following user's proof is completed by invoking mmj2's unify command and using mmj2's StepSelector to pick all remaining steps of the Metamath proof.

1::	|- (. A e. B ->. A e. B ).
2::	|- (. A e. B ,. C e. D ->. C e. D ).
3::	|- (. A e. B ,. C e. D ,. A. x e. B A. y e. D ph ->. A. x e. B A. y e. D ph ).
4:1,3,?: e13 38975	|- (. A e. B ,. C e. D ,. A. x e. B A. y e. D ph ->. [. A / x ]. A. y e. D ph ).
5:1,4,?: e13 38975	|- (. A e. B ,. C e. D ,. A. x e. B A. y e. D ph ->. A. y e. D [. A / x ]. ph ).
6:2,5,?: e23 38982	|- (. A e. B ,. C e. D ,. A. x e. B A. y e. D ph ->. [. C / y ]. [. A / x ]. ph ).
7:6:	|- (. A e. B ,. C e. D ->. ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. C / y ]. [. A / x ]. ph ) ).
8:7:	|- (. A e. B ->. ( C e. D -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. C / y ]. [. A / x ]. ph ) ) ).
qed:8:	|- ( A e. B -> ( C e. D -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. C / y ]. [. A / x ]. ph ) ) )

(Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
rspsbc2VD	|- ( A e. B -> ( C e. D -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. C / y ]. [. A / x ]. ph ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   x, B   x, D, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)   C( x, y)

Proof of Theorem rspsbc2VD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn2 38838	. . . . 5 |- (. A e. B ,. C e. D ->. C e. D ).
2		idn1 38790	. . . . . 6 |- (. A e. B ->. A e. B ).
3		idn3 38840	. . . . . . 7 |- (. A e. B ,. C e. D ,. A. x e. B A. y e. D ph ->. A. x e. B A. y e. D ph ).
4		rspsbc 3518	. . . . . . 7 |- ( A e. B -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. A / x ]. A. y e. D ph ) )
5	2, 3, 4	e13 38975	. . . . . 6 |- (. A e. B ,. C e. D ,. A. x e. B A. y e. D ph ->. [. A / x ]. A. y e. D ph ).
6		sbcralg 3513	. . . . . . 7 |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. A. y e. D ph <-> A. y e. D [. A / x ]. ph ) )
7	6	biimpd 219	. . . . . 6 |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. A. y e. D ph -> A. y e. D [. A / x ]. ph ) )
8	2, 5, 7	e13 38975	. . . . 5 |- (. A e. B ,. C e. D ,. A. x e. B A. y e. D ph ->. A. y e. D [. A / x ]. ph ).
9		rspsbc 3518	. . . . 5 |- ( C e. D -> ( A. y e. D [. A / x ]. ph -> [. C / y ]. [. A / x ]. ph ) )
10	1, 8, 9	e23 38982	. . . 4 |- (. A e. B ,. C e. D ,. A. x e. B A. y e. D ph ->. [. C / y ]. [. A / x ]. ph ).
11	10	in3 38834	. . 3 |- (. A e. B ,. C e. D ->. ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. C / y ]. [. A / x ]. ph ) ).
12	11	in2 38830	. 2 |- (. A e. B ->. ( C e. D -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. C / y ]. [. A / x ]. ph ) ) ).
13	12	in1 38787	1 |- ( A e. B -> ( C e. D -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. C / y ]. [. A / x ]. ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   A.wral 2912   [.wsbc 3435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-v 3202  df-sbc 3436  df-vd1 38786  df-vd2 38794  df-vd3 38806

This theorem is referenced by: (None)