Theorem ss2iundf 37951

Description: Subclass theorem for indexed union. (Contributed by RP, 17-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ss2iundf.xph	|- F/ x ph
ss2iundf.yph	|- F/ y ph
ss2iundf.y	|- F/_ y Y
ss2iundf.a	|- F/_ y A
ss2iundf.b	|- F/_ y B
ss2iundf.xc	|- F/_ x C
ss2iundf.yc	|- F/_ y C
ss2iundf.d	|- F/_ x D
ss2iundf.g	|- F/_ y G
ss2iundf.el	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> Y e. C )
ss2iundf.sub	|- ( ( ph /\ x e. A /\ y = Y ) -> D = G )
ss2iundf.ss	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B C_ G )

Assertion

Ref	Expression
ss2iundf	|- ( ph -> U_ x e. A B C_ U_ y e. C D )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y)   D( x, y)   G( x, y)   Y( x, y)

Proof of Theorem ss2iundf

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ss2iundf.xph	. . 3 |- F/ x ph
2		ss2iundf.ss	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B C_ G )
3		df-ral 2917	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. C -. B C_ D <-> A. y ( y e. C -> -. B C_ D ) )
4		ss2iundf.el	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Y e. C )
5		ss2iundf.yph	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ph
6		ss2iundf.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y A
7	6	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y x e. A
8	5, 7	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ph /\ x e. A )
9		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y = Y ) -> y = Y )
10	9	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y = Y ) -> ( y e. C <-> Y e. C ) )
11	10	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y = Y ) -> ( Y e. C -> y e. C ) )
12		ss2iundf.sub	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y = Y ) -> D = G )
13	12	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y = Y ) -> ( B C_ D <-> B C_ G ) )
14	13	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y = Y ) -> ( B C_ D <-> B C_ G ) )
15	14	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y = Y ) -> ( -. B C_ D <-> -. B C_ G ) )
16	15	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y = Y ) -> ( -. B C_ D -> -. B C_ G ) )
17	11, 16	imim12d 81	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y = Y ) -> ( ( y e. C -> -. B C_ D ) -> ( Y e. C -> -. B C_ G ) ) )
18	17	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( y = Y -> ( ( y e. C -> -. B C_ D ) -> ( Y e. C -> -. B C_ G ) ) ) )
19	8, 18	alrimi 2082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. y ( y = Y -> ( ( y e. C -> -. B C_ D ) -> ( Y e. C -> -. B C_ G ) ) ) )
20		ss2iundf.y	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y Y
21		ss2iundf.yc	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y C
22	20, 21	nfel 2777	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y Y e. C
23		ss2iundf.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y B
24		ss2iundf.g	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y G
25	23, 24	nfss 3596	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y B C_ G
26	25	nfn 1784	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y -. B C_ G
27	22, 26	nfim 1825	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( Y e. C -> -. B C_ G )
28	27, 20	spcimgft 3284	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y ( y = Y -> ( ( y e. C -> -. B C_ D ) -> ( Y e. C -> -. B C_ G ) ) ) -> ( Y e. C -> ( A. y ( y e. C -> -. B C_ D ) -> ( Y e. C -> -. B C_ G ) ) ) )
29	19, 4, 28	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. y ( y e. C -> -. B C_ D ) -> ( Y e. C -> -. B C_ G ) ) )
30	4, 29	mpid 44	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. y ( y e. C -> -. B C_ D ) -> -. B C_ G ) )
31	3, 30	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. y e. C -. B C_ D -> -. B C_ G ) )
32	31	con2d 129	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B C_ G -> -. A. y e. C -. B C_ D ) )
33		dfrex2 2996	. . . . . 6 |- ( E. y e. C B C_ D <-> -. A. y e. C -. B C_ D )
34	32, 33	syl6ibr 242	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B C_ G -> E. y e. C B C_ D ) )
35	2, 34	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. C B C_ D )
36	35	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A -> E. y e. C B C_ D ) )
37	1, 36	ralrimi 2957	. 2 |- ( ph -> A. x e. A E. y e. C B C_ D )
38		ssel 3597	. . . . . . . 8 |- ( B C_ D -> ( z e. B -> z e. D ) )
39	38	reximi 3011	. . . . . . 7 |- ( E. y e. C B C_ D -> E. y e. C ( z e. B -> z e. D ) )
40	23	nfcri 2758	. . . . . . . 8 |- F/ y z e. B
41	40	r19.37 3086	. . . . . . 7 |- ( E. y e. C ( z e. B -> z e. D ) -> ( z e. B -> E. y e. C z e. D ) )
42	39, 41	syl 17	. . . . . 6 |- ( E. y e. C B C_ D -> ( z e. B -> E. y e. C z e. D ) )
43		eliun 4524	. . . . . 6 |- ( z e. U_ y e. C D <-> E. y e. C z e. D )
44	42, 43	syl6ibr 242	. . . . 5 |- ( E. y e. C B C_ D -> ( z e. B -> z e. U_ y e. C D ) )
45	44	ssrdv 3609	. . . 4 |- ( E. y e. C B C_ D -> B C_ U_ y e. C D )
46	45	ralimi 2952	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. C B C_ D -> A. x e. A B C_ U_ y e. C D )
47		df-iun 4522	. . . . 5 |- U_ x e. A B = { z | E. x e. A z e. B }
48	47	sseq1i 3629	. . . 4 |- ( U_ x e. A B C_ U_ y e. C D <-> { z | E. x e. A z e. B } C_ U_ y e. C D )
49		abss 3671	. . . 4 |- ( { z | E. x e. A z e. B } C_ U_ y e. C D <-> A. z ( E. x e. A z e. B -> z e. U_ y e. C D ) )
50		dfss2 3591	. . . . . 6 |- ( B C_ U_ y e. C D <-> A. z ( z e. B -> z e. U_ y e. C D ) )
51	50	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. x e. A B C_ U_ y e. C D <-> A. x e. A A. z ( z e. B -> z e. U_ y e. C D ) )
52		ralcom4 3224	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. z ( z e. B -> z e. U_ y e. C D ) <-> A. z A. x e. A ( z e. B -> z e. U_ y e. C D ) )
53		ss2iundf.xc	. . . . . . . . 9 |- F/_ x C
54		ss2iundf.d	. . . . . . . . 9 |- F/_ x D
55	53, 54	nfiun 4548	. . . . . . . 8 |- F/_ x U_ y e. C D
56	55	nfcri 2758	. . . . . . 7 |- F/ x z e. U_ y e. C D
57	56	r19.23 3022	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( z e. B -> z e. U_ y e. C D ) <-> ( E. x e. A z e. B -> z e. U_ y e. C D ) )
58	57	albii 1747	. . . . 5 |- ( A. z A. x e. A ( z e. B -> z e. U_ y e. C D ) <-> A. z ( E. x e. A z e. B -> z e. U_ y e. C D ) )
59	51, 52, 58	3bitrri 287	. . . 4 |- ( A. z ( E. x e. A z e. B -> z e. U_ y e. C D ) <-> A. x e. A B C_ U_ y e. C D )
60	48, 49, 59	3bitri 286	. . 3 |- ( U_ x e. A B C_ U_ y e. C D <-> A. x e. A B C_ U_ y e. C D )
61	46, 60	sylibr 224	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. C B C_ D -> U_ x e. A B C_ U_ y e. C D )
62	37, 61	syl 17	1 |- ( ph -> U_ x e. A B C_ U_ y e. C D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   {cab 2608   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   U_ciun 4520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-iun 4522

This theorem is referenced by:  ss2iundv  37952  cbviuneq12df  37953