Theorem wl-ax11-lem6 33367

Description: Lemma. (Contributed by Wolf Lammen, 30-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
wl-ax11-lem6	|- ( ( A. u u = y /\ -. A. x x = y ) -> ( A. u A. x [ u / y ] ph <-> A. x A. y ph ) )

Distinct variable group:   x, u

Allowed substitution hints:   ph( x, y, u)

Proof of Theorem wl-ax11-lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-wl-11v 33361	. . 3 |- ( A. u A. x [ u / y ] ph -> A. x A. u [ u / y ] ph )
2		ax-wl-11v 33361	. . 3 |- ( A. x A. u [ u / y ] ph -> A. u A. x [ u / y ] ph )
3	1, 2	impbii 199	. 2 |- ( A. u A. x [ u / y ] ph <-> A. x A. u [ u / y ] ph )
4		nfna1 2029	. . . . 5 |- F/ x -. A. x x = y
5		wl-ax11-lem3 33364	. . . . 5 |- ( -. A. x x = y -> F/ x A. u u = y )
6	4, 5	nfan1 2068	. . . 4 |- F/ x ( -. A. x x = y /\ A. u u = y )
7		wl-ax11-lem5 33366	. . . . 5 |- ( A. u u = y -> ( A. u [ u / y ] ph <-> A. y ph ) )
8	7	adantl 482	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. u u = y ) -> ( A. u [ u / y ] ph <-> A. y ph ) )
9	6, 8	albid 2090	. . 3 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. u u = y ) -> ( A. x A. u [ u / y ] ph <-> A. x A. y ph ) )
10	9	ancoms 469	. 2 |- ( ( A. u u = y /\ -. A. x x = y ) -> ( A. x A. u [ u / y ] ph <-> A. x A. y ph ) )
11	3, 10	syl5bb 272	1 |- ( ( A. u u = y /\ -. A. x x = y ) -> ( A. u A. x [ u / y ] ph <-> A. x A. y ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   [wsb 1880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-wl-11v 33361

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881

This theorem is referenced by:  wl-ax11-lem10  33371