Theorem 2eu3 2555

Description: Double existential uniqueness. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.)

Assertion

Ref	Expression
2eu3	⊢ (∀𝑥∀𝑦(∃*𝑥𝜑 ∨ ∃*𝑦𝜑) → ((∃!𝑥∃!𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃!𝑥𝜑) ↔ (∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑)))

Proof of Theorem 2eu3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmo1 2481	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∃*𝑦𝜑
2	1	19.31 2102	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(∃*𝑥𝜑 ∨ ∃*𝑦𝜑) ↔ (∀𝑦∃*𝑥𝜑 ∨ ∃*𝑦𝜑))
3	2	albii 1747	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(∃*𝑥𝜑 ∨ ∃*𝑦𝜑) ↔ ∀𝑥(∀𝑦∃*𝑥𝜑 ∨ ∃*𝑦𝜑))
4		nfmo1 2481	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∃*𝑥𝜑
5	4	nfal 2153	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦∃*𝑥𝜑
6	5	19.32 2101	. . 3 ⊢ (∀𝑥(∀𝑦∃*𝑥𝜑 ∨ ∃*𝑦𝜑) ↔ (∀𝑦∃*𝑥𝜑 ∨ ∀𝑥∃*𝑦𝜑))
7	3, 6	bitri 264	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(∃*𝑥𝜑 ∨ ∃*𝑦𝜑) ↔ (∀𝑦∃*𝑥𝜑 ∨ ∀𝑥∃*𝑦𝜑))
8		2eu1 2553	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥𝜑 → (∃!𝑦∃!𝑥𝜑 ↔ (∃!𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥∃𝑦𝜑)))
9	8	biimpd 219	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥𝜑 → (∃!𝑦∃!𝑥𝜑 → (∃!𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥∃𝑦𝜑)))
10		ancom 466	. . . . . 6 ⊢ ((∃!𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥∃𝑦𝜑) ↔ (∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑))
11	9, 10	syl6ib 241	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥𝜑 → (∃!𝑦∃!𝑥𝜑 → (∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑)))
12	11	adantld 483	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥𝜑 → ((∃!𝑥∃!𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃!𝑥𝜑) → (∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑)))
13		2eu1 2553	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → (∃!𝑥∃!𝑦𝜑 ↔ (∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑)))
14	13	biimpd 219	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → (∃!𝑥∃!𝑦𝜑 → (∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑)))
15	14	adantrd 484	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → ((∃!𝑥∃!𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃!𝑥𝜑) → (∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑)))
16	12, 15	jaoi 394	. . 3 ⊢ ((∀𝑦∃*𝑥𝜑 ∨ ∀𝑥∃*𝑦𝜑) → ((∃!𝑥∃!𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃!𝑥𝜑) → (∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑)))
17		2exeu 2549	. . . 4 ⊢ ((∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑) → ∃!𝑥∃!𝑦𝜑)
18		2exeu 2549	. . . . 5 ⊢ ((∃!𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥∃𝑦𝜑) → ∃!𝑦∃!𝑥𝜑)
19	18	ancoms 469	. . . 4 ⊢ ((∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑) → ∃!𝑦∃!𝑥𝜑)
20	17, 19	jca 554	. . 3 ⊢ ((∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑) → (∃!𝑥∃!𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃!𝑥𝜑))
21	16, 20	impbid1 215	. 2 ⊢ ((∀𝑦∃*𝑥𝜑 ∨ ∀𝑥∃*𝑦𝜑) → ((∃!𝑥∃!𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃!𝑥𝜑) ↔ (∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑)))
22	7, 21	sylbi 207	1 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(∃*𝑥𝜑 ∨ ∃*𝑦𝜑) → ((∃!𝑥∃!𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃!𝑥𝜑) ↔ (∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384  ∀wal 1481  ∃wex 1704  ∃!weu 2470  ∃*wmo 2471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-eu 2474  df-mo 2475

This theorem is referenced by: (None)