Theorem elimhyp4v 4149

Description: Eliminate a hypothesis containing 4 class variables (for use with the weak deduction theorem dedth 4139). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
elimhyp4v.1	⊢ (𝐴 = if(𝜑, 𝐴, 𝐷) → (𝜑 ↔ 𝜒))
elimhyp4v.2	⊢ (𝐵 = if(𝜑, 𝐵, 𝑅) → (𝜒 ↔ 𝜃))
elimhyp4v.3	⊢ (𝐶 = if(𝜑, 𝐶, 𝑆) → (𝜃 ↔ 𝜏))
elimhyp4v.4	⊢ (𝐹 = if(𝜑, 𝐹, 𝐺) → (𝜏 ↔ 𝜓))
elimhyp4v.5	⊢ (𝐷 = if(𝜑, 𝐴, 𝐷) → (𝜂 ↔ 𝜁))
elimhyp4v.6	⊢ (𝑅 = if(𝜑, 𝐵, 𝑅) → (𝜁 ↔ 𝜎))
elimhyp4v.7	⊢ (𝑆 = if(𝜑, 𝐶, 𝑆) → (𝜎 ↔ 𝜌))
elimhyp4v.8	⊢ (𝐺 = if(𝜑, 𝐹, 𝐺) → (𝜌 ↔ 𝜓))
elimhyp4v.9	⊢ 𝜂

Assertion

Ref	Expression
elimhyp4v	⊢ 𝜓

Proof of Theorem elimhyp4v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐷) = 𝐴)
2	1	eqcomd 2628	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = if(𝜑, 𝐴, 𝐷))
3		elimhyp4v.1	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝜑, 𝐴, 𝐷) → (𝜑 ↔ 𝜒))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ↔ 𝜒))
5		iftrue 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐵, 𝑅) = 𝐵)
6	5	eqcomd 2628	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = if(𝜑, 𝐵, 𝑅))
7		elimhyp4v.2	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝜑, 𝐵, 𝑅) → (𝜒 ↔ 𝜃))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝜒 ↔ 𝜃))
9	4, 8	bitrd 268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ↔ 𝜃))
10		iftrue 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐶, 𝑆) = 𝐶)
11	10	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = if(𝜑, 𝐶, 𝑆))
12		elimhyp4v.3	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝜑, 𝐶, 𝑆) → (𝜃 ↔ 𝜏))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝜃 ↔ 𝜏))
14		iftrue 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐹, 𝐺) = 𝐹)
15	14	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = if(𝜑, 𝐹, 𝐺))
16		elimhyp4v.4	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = if(𝜑, 𝐹, 𝐺) → (𝜏 ↔ 𝜓))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝜏 ↔ 𝜓))
18	9, 13, 17	3bitrd 294	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ↔ 𝜓))
19	18	ibi 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜓)
20		elimhyp4v.9	. . 3 ⊢ 𝜂
21		iffalse 4095	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐷) = 𝐷)
22	21	eqcomd 2628	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝜑 → 𝐷 = if(𝜑, 𝐴, 𝐷))
23		elimhyp4v.5	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if(𝜑, 𝐴, 𝐷) → (𝜂 ↔ 𝜁))
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝜂 ↔ 𝜁))
25		iffalse 4095	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐵, 𝑅) = 𝑅)
26	25	eqcomd 2628	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝜑 → 𝑅 = if(𝜑, 𝐵, 𝑅))
27		elimhyp4v.6	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 = if(𝜑, 𝐵, 𝑅) → (𝜁 ↔ 𝜎))
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝜁 ↔ 𝜎))
29	24, 28	bitrd 268	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝜂 ↔ 𝜎))
30		iffalse 4095	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐶, 𝑆) = 𝑆)
31	30	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝜑 → 𝑆 = if(𝜑, 𝐶, 𝑆))
32		elimhyp4v.7	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = if(𝜑, 𝐶, 𝑆) → (𝜎 ↔ 𝜌))
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝜎 ↔ 𝜌))
34		iffalse 4095	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐹, 𝐺) = 𝐺)
35	34	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝜑 → 𝐺 = if(𝜑, 𝐹, 𝐺))
36		elimhyp4v.8	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = if(𝜑, 𝐹, 𝐺) → (𝜌 ↔ 𝜓))
37	35, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝜌 ↔ 𝜓))
38	29, 33, 37	3bitrd 294	. . 3 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝜂 ↔ 𝜓))
39	20, 38	mpbii 223	. 2 ⊢ (¬ 𝜑 → 𝜓)
40	19, 39	pm2.61i 176	1 ⊢ 𝜓

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483  ifcif 4086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-if 4087

This theorem is referenced by: (None)