Theorem elzdif0 30024

Description: Lemma for qqhval2 30026. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elzdif0	⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ))

Proof of Theorem elzdif0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3732	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eldifn 3733	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → ¬ 𝑀 ∈ {0})
3		elsng 4191	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ {0} ↔ 𝑀 = 0))
4	3	notbid 308	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 𝑀 ∈ {0} ↔ ¬ 𝑀 = 0))
5	4	biimpa 501	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑀 ∈ {0}) → ¬ 𝑀 = 0)
6	1, 2, 5	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → ¬ 𝑀 = 0)
7		elz 11379	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
8	1, 7	sylib 208	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
9	8	simprd 479	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ))
10		3orass 1040	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ) ↔ (𝑀 = 0 ∨ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
11	9, 10	sylib 208	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 = 0 ∨ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
12		orel1 397	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 = 0 → ((𝑀 = 0 ∨ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
13	6, 11, 12	sylc 65	1 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∨ w3o 1036   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∖ cdif 3571  {csn 4177  ℝcr 9935  0cc0 9936  -cneg 10267  ℕcn 11020  ℤcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-neg 10269  df-z 11378

This theorem is referenced by: (None)