Theorem elz 11379

Description: Membership in the set of integers. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elz	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))

Proof of Theorem elz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2626	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
2		eleq1 2689	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
3		negeq 10273	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → -𝑥 = -𝑁)
4	3	eleq1d 2686	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (-𝑥 ∈ ℕ ↔ -𝑁 ∈ ℕ))
5	1, 2, 4	3orbi123d 1398	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ∈ ℕ ∨ -𝑥 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
6		df-z 11378	. 2 ⊢ ℤ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ∈ ℕ ∨ -𝑥 ∈ ℕ)}
7	5, 6	elrab2 3366	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∨ w3o 1036   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ℝcr 9935  0cc0 9936  -cneg 10267  ℕcn 11020  ℤcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-neg 10269  df-z 11378

This theorem is referenced by:  nnnegz  11380  zre  11381  elnnz  11387  0z  11388  elznn0nn  11391  elznn0  11392  elznn  11393  znegcl  11412  zeo  11463  addmodlteq  12745  zabsle1  25021  ostthlem1  25316  ostth3  25327  elzdif0  30024  qqhval2lem  30025