Theorem nzrring 19261

Description: A nonzero ring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nzrring	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem nzrring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2622	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 19259	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4	3	simplbi 476	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ‘cfv 5888  0_gc0g 16100  1_rcur 18501  Ringcrg 18547  NzRingcnzr 19257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-nzr 19258

This theorem is referenced by:  opprnzr  19265  nzrunit  19267  domnring  19296  domnchr  19880  uvcf1  20131  lindfind2  20157  frlmisfrlm  20187  nminvr  22473  deg1pw  23880  ply1nz  23881  ply1remlem  23922  ply1rem  23923  facth1  23924  fta1glem1  23925  fta1glem2  23926  zrhnm  30013  mon1pid  37783  mon1psubm  37784  nzrneg1ne0  41869  islindeps2  42272