Theorem rrextchr 30048

Description: The ring characteristic of an extension of ℝ is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrextchr	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (chr‘𝑅) = 0)

Proof of Theorem rrextchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
3		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
4	1, 2, 3	isrrext 30044	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt ↔ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))))
5	4	simp2bi 1077	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0))
6	5	simprd 479	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (chr‘𝑅) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   × cxp 5112   ↾ cres 5116  ‘cfv 5888  0cc0 9936  Basecbs 15857  distcds 15950  DivRingcdr 18747  metUnifcmetu 19737  ℤModczlm 19849  chrcchr 19850  UnifStcuss 22057  CUnifSpccusp 22101  NrmRingcnrg 22384  NrmModcnlm 22385   ℝExt crrext 30038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-res 5126  df-iota 5851  df-fv 5896  df-rrext 30043

This theorem is referenced by:  rrhfe  30056  rrhcne  30057  rrhqima  30058  rrh0  30059  sitgclg  30404