Theorem xnegex 12039

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 11946	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 10096	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3213	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 10093	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 10279	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4156	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4156	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2697	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ifcif 4086  +∞cpnf 10071  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073  -cneg 10267  -_𝑒cxne 11943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-un 6949  ax-cnex 9992

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-neg 10269  df-xneg 11946

This theorem is referenced by:  xrhmeo  22745  supminfxrrnmpt  39701  liminfvalxr  40015