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Theorem pw1eqadj 4332

Description: A condition for a unit power class to work out to an adjunction. (Contributed by SF, 26-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw1eqadj.1
pw1eqadj.2

Assertion

Ref	Expression
pw1eqadj	1 1

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

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Proof of Theorem pw1eqadj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 3900	. . . . 5 1 1
2		unipw1 4325	. . . . 5 1
3		uniun 3910	. . . . 5
4	1, 2, 3	3eqtr3g 2408	. . . 4 1
5		pw1eqadj.2	. . . . . . 7
6	5	unisn 3907	. . . . . 6
7		pw1ss1c 4158	. . . . . . . 8 1 1c
8		ssun2 3427	. . . . . . . . . 10
9	5	snid 3760	. . . . . . . . . 10
10	8, 9	sselii 3270	. . . . . . . . 9
11		eleq2 2414	. . . . . . . . 9 1 1
12	10, 11	mpbiri 224	. . . . . . . 8 1 1
13	7, 12	sseldi 3271	. . . . . . 7 1 1c
14		el1c 4139	. . . . . . . 8 1c
15		vex 2862	. . . . . . . . . . . . 13
16	15	unisn 3907	. . . . . . . . . . . 12
17	16	sneqi 3745	. . . . . . . . . . 11
18	17	eqcomi 2357	. . . . . . . . . 10
19		id 19	. . . . . . . . . 10
20		unieq 3900	. . . . . . . . . . 11
21	20	sneqd 3746	. . . . . . . . . 10
22	18, 19, 21	3eqtr4a 2411	. . . . . . . . 9
23	22	exlimiv 1634	. . . . . . . 8
24	14, 23	sylbi 187	. . . . . . 7 1c
25	13, 24	syl 15	. . . . . 6 1
26	6, 25	syl5eq 2397	. . . . 5 1
27	26	uneq2d 3418	. . . 4 1
28	4, 27	eqtrd 2385	. . 3 1
29		ssun1 3426	. . . . . 6
30		sseq2 3293	. . . . . 6 1 1
31	29, 30	mpbiri 224	. . . . 5 1 1
32	31, 7	syl6ss 3284	. . . 4 1 1c
33		eqpw1uni 4330	. . . 4 1c 1
34	32, 33	syl 15	. . 3 1 1
35		pw1eqadj.1	. . . . 5
36	35	uniex 4317	. . . 4
37	5	uniex 4317	. . . 4
38		sneq 3744	. . . . . . 7
39		uneq12 3413	. . . . . . 7
40	38, 39	sylan2 460	. . . . . 6
41	40	eqeq2d 2364	. . . . 5
42		pw1eq 4143	. . . . . . 7 1 1
43	42	eqeq2d 2364	. . . . . 6 1 1
44	43	adantr 451	. . . . 5 1 1
45	38	eqeq2d 2364	. . . . . 6
46	45	adantl 452	. . . . 5
47	41, 44, 46	3anbi123d 1252	. . . 4 1 1
48	36, 37, 47	spc2ev 2947	. . 3 1 1
49	28, 34, 25, 48	syl3anc 1182	. 2 1 1
50		pw1un 4163	. . . . 5 1 1 1
51		vex 2862	. . . . . . 7
52	51	pw1sn 4165	. . . . . 6 1
53	52	uneq2i 3415	. . . . 5 1 1 1
54	50, 53	eqtri 2373	. . . 4 1 1
55		pw1eq 4143	. . . . . 6 1 1
56		sneq 3744	. . . . . . 7
57		uneq12 3413	. . . . . . 7 1 1
58	56, 57	sylan2 460	. . . . . 6 1 1
59	55, 58	eqeqan12d 2368	. . . . 5 1 1 1 1
60	59	3impb 1147	. . . 4 1 1 1 1
61	54, 60	mpbiri 224	. . 3 1 1
62	61	exlimivv 1635	. 2 1 1
63	49, 62	impbii 180	1 1 1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  cvv 2859   cun 3207   wss 3257  csn 3737  cuni 3891  1cc1c 4134  1 cpw1 4135

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-imak 4189  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193

This theorem is referenced by:  ncfinlower  4483  sfindbl  4530

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