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Theorem d6oa 997
Description: Derivation of 6-variable orthoarguesian law from OA distributive law.
Hypotheses
Ref Expression
d6oa.1 a =< b'
d6oa.2 c =< d'
d6oa.3 e =< f'
Assertion
Ref Expression
d6oa (((a v b) ^ (c v d)) ^ (e v f)) =< (b v (a ^ (c v (((a v c) ^ (b v d)) ^ (((a v e) ^ (b v f)) v ((c v e) ^ (d v f)))))))
Proof of Theorem d6oa
StepHypRef Expression
1 d6oa.1 . 2 a =< b'
2 d6oa.2 . 2 c =< d'
3 d6oa.3 . 2 e =< f'
4 id 59 . 2 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')) = (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))
5 id 59 . 2 a' = a'
6 id 59 . 2 c' = c'
7 id 59 . 2 e' = e'
8 id 59 . . . . 5 (((c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))) v (((c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ ((a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))))) = (((c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))) v (((c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ ((a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))))
9 id 59 . . . . 5 ((((c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))) v (((c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ ((e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))))) ^ (((a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))) v (((a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ ((e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))))) = ((((c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))) v (((c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ ((e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))))) ^ (((a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))) v (((a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ ((e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))))))
108, 9d4oa 996 . . . 4 (((c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ ((((c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))) v (((c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ ((a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))))) v ((((c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))) v (((c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ ((e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))))) ^ (((a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))) v (((a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ ((e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))))))) =< ((a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))
11 id 59 . . . 4 (a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) = (a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))
12 id 59 . . . 4 (c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) = (c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))
13 id 59 . . . 4 (e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) = (e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))
1410, 11, 12, 13oa4gto4u 976 . . 3 ((a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ ((a'' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) v ((c'' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ ((((a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))) v ((a'' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (c'' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))))) v ((((a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))) v ((a'' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (e'' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))))) ^ (((c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))) v ((c'' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (e'' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))))))))) =< (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))
1514oa4uto4 977 . 2 ((a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (a' v (c' ^ (((a' ^ c') v ((a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))))) v (((a' ^ e') v ((a' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))))) ^ ((c' ^ e') v ((c' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))) ^ (e' ->1 (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f')))))))))) =< (((a' ^ b') v (c' ^ d')) v (e' ^ f'))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15oa4to6 965 1 (((a v b) ^ (c v d)) ^ (e v f)) =< (b v (a ^ (c v (((a v c) ^ (b v d)) ^ (((a v e) ^ (b v f)) v ((c v e) ^ (d v f)))))))
Colors of variables: term
Syntax hints:   =< wle 2  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->1 wi1 12
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439  ax-oadist 994
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i0 43  df-i1 44  df-i2 45  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
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