QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  df2i3 Unicode version
Theorem df2i3 498
Description: Alternate definition for Kalmbach implication.
Assertion
Ref Expression
df2i3 (a ->3 b) = ((a' ^ b') v ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b))))
Proof of Theorem df2i3
StepHypRef Expression
1 df-i3 46 . 2 (a ->3 b) = (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b)))
2 ax-a3 32 . . 3 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) = ((a' ^ b) v ((a' ^ b') v (a ^ (a' v b))))
3 or12 80 . . . 4 ((a' ^ b) v ((a' ^ b') v (a ^ (a' v b)))) = ((a' ^ b') v ((a' ^ b) v (a ^ (a' v b))))
4 coman1 185 . . . . . . . . . 10 (a' ^ b) C a'
54comcom 453 . . . . . . . . 9 a' C (a' ^ b)
65comcom2 183 . . . . . . . 8 a' C (a' ^ b)'
76comcom5 458 . . . . . . 7 a C (a' ^ b)
8 comorr 184 . . . . . . . . 9 a' C (a' v b)
98comcom2 183 . . . . . . . 8 a' C (a' v b)'
109comcom5 458 . . . . . . 7 a C (a' v b)
117, 10fh4 472 . . . . . 6 ((a' ^ b) v (a ^ (a' v b))) = (((a' ^ b) v a) ^ ((a' ^ b) v (a' v b)))
12 lea 160 . . . . . . . . . 10 (a' ^ b) =< a'
13 leo 158 . . . . . . . . . 10 a' =< (a' v b)
1412, 13letr 137 . . . . . . . . 9 (a' ^ b) =< (a' v b)
1514df-le2 131 . . . . . . . 8 ((a' ^ b) v (a' v b)) = (a' v b)
1615lan 77 . . . . . . 7 (((a' ^ b) v a) ^ ((a' ^ b) v (a' v b))) = (((a' ^ b) v a) ^ (a' v b))
17 ancom 74 . . . . . . . 8 (((a' ^ b) v a) ^ (a' v b)) = ((a' v b) ^ ((a' ^ b) v a))
18 ax-a2 31 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) v a) = (a v (a' ^ b))
1918lan 77 . . . . . . . 8 ((a' v b) ^ ((a' ^ b) v a)) = ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))
2017, 19ax-r2 36 . . . . . . 7 (((a' ^ b) v a) ^ (a' v b)) = ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))
2116, 20ax-r2 36 . . . . . 6 (((a' ^ b) v a) ^ ((a' ^ b) v (a' v b))) = ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))
2211, 21ax-r2 36 . . . . 5 ((a' ^ b) v (a ^ (a' v b))) = ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))
2322lor 70 . . . 4 ((a' ^ b') v ((a' ^ b) v (a ^ (a' v b)))) = ((a' ^ b') v ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b))))
243, 23ax-r2 36 . . 3 ((a' ^ b) v ((a' ^ b') v (a ^ (a' v b)))) = ((a' ^ b') v ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b))))
252, 24ax-r2 36 . 2 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) = ((a' ^ b') v ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b))))
261, 25ax-r2 36 1 (a ->3 b) = ((a' ^ b') v ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b))))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  i3n2  501  ni32  502  i3lem1  504  i3th1  543  i3orlem5  556
  Copyright terms: Public domain W3C validator