QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  i3lem1 Unicode version
Theorem i3lem1 504
Description: Lemma for Kalmbach implication.
Hypothesis
Ref Expression
i3lem.1 (a ->3 b) = 1
Assertion
Ref Expression
i3lem1 ((a' ^ b) v (a' ^ b')) = a'
Proof of Theorem i3lem1
StepHypRef Expression
1 coman1 185 . . . . . . 7 (a' ^ b') C a'
21comcom 453 . . . . . 6 a' C (a' ^ b')
3 comorr 184 . . . . . . 7 a' C (a' v b)
4 comorr 184 . . . . . . . 8 a C (a v (a' ^ b))
54comcom3 454 . . . . . . 7 a' C (a v (a' ^ b))
63, 5com2an 484 . . . . . 6 a' C ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))
72, 6fh1 469 . . . . 5 (a' ^ ((a' ^ b') v ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b))))) = ((a' ^ (a' ^ b')) v (a' ^ ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))))
8 anass 76 . . . . . . . . 9 ((a' ^ a') ^ b') = (a' ^ (a' ^ b'))
98ax-r1 35 . . . . . . . 8 (a' ^ (a' ^ b')) = ((a' ^ a') ^ b')
10 anidm 111 . . . . . . . . 9 (a' ^ a') = a'
1110ran 78 . . . . . . . 8 ((a' ^ a') ^ b') = (a' ^ b')
129, 11ax-r2 36 . . . . . . 7 (a' ^ (a' ^ b')) = (a' ^ b')
13 anass 76 . . . . . . . . 9 ((a' ^ (a' v b)) ^ (a v (a' ^ b))) = (a' ^ ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b))))
1413ax-r1 35 . . . . . . . 8 (a' ^ ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))) = ((a' ^ (a' v b)) ^ (a v (a' ^ b)))
15 anabs 121 . . . . . . . . . 10 (a' ^ (a' v b)) = a'
1615ran 78 . . . . . . . . 9 ((a' ^ (a' v b)) ^ (a v (a' ^ b))) = (a' ^ (a v (a' ^ b)))
17 omlan 448 . . . . . . . . 9 (a' ^ (a v (a' ^ b))) = (a' ^ b)
1816, 17ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' ^ (a' v b)) ^ (a v (a' ^ b))) = (a' ^ b)
1914, 18ax-r2 36 . . . . . . 7 (a' ^ ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))) = (a' ^ b)
2012, 192or 72 . . . . . 6 ((a' ^ (a' ^ b')) v (a' ^ ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b))))) = ((a' ^ b') v (a' ^ b))
21 ax-a2 31 . . . . . 6 ((a' ^ b') v (a' ^ b)) = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
2220, 21ax-r2 36 . . . . 5 ((a' ^ (a' ^ b')) v (a' ^ ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b))))) = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
237, 22ax-r2 36 . . . 4 (a' ^ ((a' ^ b') v ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b))))) = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
2423ax-r1 35 . . 3 ((a' ^ b) v (a' ^ b')) = (a' ^ ((a' ^ b') v ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))))
25 df2i3 498 . . . . . 6 (a ->3 b) = ((a' ^ b') v ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b))))
2625ax-r1 35 . . . . 5 ((a' ^ b') v ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))) = (a ->3 b)
27 i3lem.1 . . . . 5 (a ->3 b) = 1
2826, 27ax-r2 36 . . . 4 ((a' ^ b') v ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))) = 1
2928lan 77 . . 3 (a' ^ ((a' ^ b') v ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b))))) = (a' ^ 1)
3024, 29ax-r2 36 . 2 ((a' ^ b) v (a' ^ b')) = (a' ^ 1)
31 an1 106 . 2 (a' ^ 1) = a'
3230, 31ax-r2 36 1 ((a' ^ b) v (a' ^ b')) = a'
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  i3lem2  505  i3lem3  506  i3lem4  507
  Copyright terms: Public domain W3C validator