QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  oi3ai3 Unicode version
Theorem oi3ai3 503
Description: Theorem for Kalmbach implication.
Assertion
Ref Expression
oi3ai3 ((a ^ b) v (a ->3 b)') = ((a v b) ^ (a' ->3 b'))
Proof of Theorem oi3ai3
StepHypRef Expression
1 lea 160 . . . . . 6 (a ^ b) =< a
2 leo 158 . . . . . 6 a =< (a v b)
31, 2letr 137 . . . . 5 (a ^ b) =< (a v b)
43lecom 180 . . . 4 (a ^ b) C (a v b)
5 coman1 185 . . . . . 6 (a ^ b) C a
6 ancom 74 . . . . . . . 8 (a ^ b) = (b ^ a)
7 coman1 185 . . . . . . . 8 (b ^ a) C b
86, 7bctr 181 . . . . . . 7 (a ^ b) C b
98comcom2 183 . . . . . 6 (a ^ b) C b'
105, 9com2an 484 . . . . 5 (a ^ b) C (a ^ b')
115comcom2 183 . . . . . 6 (a ^ b) C a'
125, 9com2or 483 . . . . . 6 (a ^ b) C (a v b')
1311, 12com2an 484 . . . . 5 (a ^ b) C (a' ^ (a v b'))
1410, 13com2or 483 . . . 4 (a ^ b) C ((a ^ b') v (a' ^ (a v b')))
154, 14fh3 471 . . 3 ((a ^ b) v ((a v b) ^ ((a ^ b') v (a' ^ (a v b'))))) = (((a ^ b) v (a v b)) ^ ((a ^ b) v ((a ^ b') v (a' ^ (a v b')))))
163df-le2 131 . . . 4 ((a ^ b) v (a v b)) = (a v b)
17 ax-a3 32 . . . . . 6 (((a ^ b) v (a ^ b')) v (a' ^ (a v b'))) = ((a ^ b) v ((a ^ b') v (a' ^ (a v b'))))
1817ax-r1 35 . . . . 5 ((a ^ b) v ((a ^ b') v (a' ^ (a v b')))) = (((a ^ b) v (a ^ b')) v (a' ^ (a v b')))
19 ax-a2 31 . . . . . 6 ((a ^ b) v (a ^ b')) = ((a ^ b') v (a ^ b))
2019ax-r5 38 . . . . 5 (((a ^ b) v (a ^ b')) v (a' ^ (a v b'))) = (((a ^ b') v (a ^ b)) v (a' ^ (a v b')))
2118, 20ax-r2 36 . . . 4 ((a ^ b) v ((a ^ b') v (a' ^ (a v b')))) = (((a ^ b') v (a ^ b)) v (a' ^ (a v b')))
2216, 212an 79 . . 3 (((a ^ b) v (a v b)) ^ ((a ^ b) v ((a ^ b') v (a' ^ (a v b'))))) = ((a v b) ^ (((a ^ b') v (a ^ b)) v (a' ^ (a v b'))))
2315, 22ax-r2 36 . 2 ((a ^ b) v ((a v b) ^ ((a ^ b') v (a' ^ (a v b'))))) = ((a v b) ^ (((a ^ b') v (a ^ b)) v (a' ^ (a v b'))))
24 ni32 502 . . 3 (a ->3 b)' = ((a v b) ^ ((a ^ b') v (a' ^ (a v b'))))
2524lor 70 . 2 ((a ^ b) v (a ->3 b)') = ((a ^ b) v ((a v b) ^ ((a ^ b') v (a' ^ (a v b')))))
26 i3n1 249 . . 3 (a' ->3 b') = (((a ^ b') v (a ^ b)) v (a' ^ (a v b')))
2726lan 77 . 2 ((a v b) ^ (a' ->3 b')) = ((a v b) ^ (((a ^ b') v (a ^ b)) v (a' ^ (a v b'))))
2823, 25, 273tr1 63 1 ((a ^ b) v (a ->3 b)') = ((a v b) ^ (a' ->3 b'))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  i3orlem6  557
  Copyright terms: Public domain W3C validator