QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  mhlem2 Unicode version
Theorem mhlem2 878
Description: Lemma for Marsden-Herman distributive law.
Hypotheses
Ref Expression
mh.1 a C c
mh.2 a C d
mh.3 b C c
mh.4 b C d
Assertion
Ref Expression
mhlem2 (((a v c) ^ (c' v b')) ^ ((b v d) ^ (a' v d'))) = (((a ^ c') ^ (b ^ d')) v ((c ^ b') ^ (d ^ a')))
Proof of Theorem mhlem2
StepHypRef Expression
1 mh.1 . . . 4 a C c
2 mh.3 . . . . 5 b C c
32comcom3 454 . . . 4 b' C c
41, 3mhlem1 877 . . 3 ((a v c) ^ (c' v b')) = ((a ^ c') v (c ^ b'))
5 ax-a2 31 . . . . 5 (a' v d') = (d' v a')
65lan 77 . . . 4 ((b v d) ^ (a' v d')) = ((b v d) ^ (d' v a'))
7 mh.4 . . . . 5 b C d
8 mh.2 . . . . . 6 a C d
98comcom3 454 . . . . 5 a' C d
107, 9mhlem1 877 . . . 4 ((b v d) ^ (d' v a')) = ((b ^ d') v (d ^ a'))
116, 10ax-r2 36 . . 3 ((b v d) ^ (a' v d')) = ((b ^ d') v (d ^ a'))
124, 112an 79 . 2 (((a v c) ^ (c' v b')) ^ ((b v d) ^ (a' v d'))) = (((a ^ c') v (c ^ b')) ^ ((b ^ d') v (d ^ a')))
13 leao2 163 . . . . . 6 (a ^ c') =< (c' v b)
14 leao3 164 . . . . . 6 (a ^ c') =< (d' v a)
1513, 14ler2an 173 . . . . 5 (a ^ c') =< ((c' v b) ^ (d' v a))
16 leao3 164 . . . . . 6 (b ^ d') =< (c' v b)
17 leao2 163 . . . . . 6 (b ^ d') =< (d' v a)
1816, 17ler2an 173 . . . . 5 (b ^ d') =< ((c' v b) ^ (d' v a))
1915, 18lel2or 170 . . . 4 ((a ^ c') v (b ^ d')) =< ((c' v b) ^ (d' v a))
20 oran2 92 . . . . . 6 (c' v b) = (c ^ b')'
21 oran2 92 . . . . . 6 (d' v a) = (d ^ a')'
2220, 212an 79 . . . . 5 ((c' v b) ^ (d' v a)) = ((c ^ b')' ^ (d ^ a')')
23 anor3 90 . . . . 5 ((c ^ b')' ^ (d ^ a')') = ((c ^ b') v (d ^ a'))'
2422, 23ax-r2 36 . . . 4 ((c' v b) ^ (d' v a)) = ((c ^ b') v (d ^ a'))'
2519, 24lbtr 139 . . 3 ((a ^ c') v (b ^ d')) =< ((c ^ b') v (d ^ a'))'
2625mhlem 876 . 2 (((a ^ c') v (c ^ b')) ^ ((b ^ d') v (d ^ a'))) = (((a ^ c') ^ (b ^ d')) v ((c ^ b') ^ (d ^ a')))
2712, 26ax-r2 36 1 (((a v c) ^ (c' v b')) ^ ((b v d) ^ (a' v d'))) = (((a ^ c') ^ (b ^ d')) v ((c ^ b') ^ (d ^ a')))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1   C wc 3  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  mh  879
  Copyright terms: Public domain W3C validator