QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  ni32 Unicode version
Theorem ni32 502
Description: Equivalence for Kalmbach implication.
Assertion
Ref Expression
ni32 (a ->3 b)' = ((a v b) ^ ((a ^ b') v (a' ^ (a v b'))))
Proof of Theorem ni32
StepHypRef Expression
1 df2i3 498 . . 3 (a ->3 b) = ((a' ^ b') v ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b))))
2 oran 87 . . . 4 ((a' ^ b') v ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))) = ((a' ^ b')' ^ ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))')'
3 oran 87 . . . . . . 7 (a v b) = (a' ^ b')'
4 oran 87 . . . . . . . 8 ((a ^ b') v (a' ^ (a v b'))) = ((a ^ b')' ^ (a' ^ (a v b'))')'
5 anor1 88 . . . . . . . . . . . . 13 (a ^ b') = (a' v b)'
65con2 67 . . . . . . . . . . . 12 (a ^ b')' = (a' v b)
76ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 (a' v b) = (a ^ b')'
8 oran 87 . . . . . . . . . . . 12 (a v (a' ^ b)) = (a' ^ (a' ^ b)')'
9 anor2 89 . . . . . . . . . . . . . . 15 (a' ^ b) = (a v b')'
109con2 67 . . . . . . . . . . . . . 14 (a' ^ b)' = (a v b')
1110lan 77 . . . . . . . . . . . . 13 (a' ^ (a' ^ b)') = (a' ^ (a v b'))
1211ax-r4 37 . . . . . . . . . . . 12 (a' ^ (a' ^ b)')' = (a' ^ (a v b'))'
138, 12ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 (a v (a' ^ b)) = (a' ^ (a v b'))'
147, 132an 79 . . . . . . . . . 10 ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b))) = ((a ^ b')' ^ (a' ^ (a v b'))')
1514ax-r1 35 . . . . . . . . 9 ((a ^ b')' ^ (a' ^ (a v b'))') = ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))
1615ax-r4 37 . . . . . . . 8 ((a ^ b')' ^ (a' ^ (a v b'))')' = ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))'
174, 16ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a ^ b') v (a' ^ (a v b'))) = ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))'
183, 172an 79 . . . . . 6 ((a v b) ^ ((a ^ b') v (a' ^ (a v b')))) = ((a' ^ b')' ^ ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))')
1918ax-r1 35 . . . . 5 ((a' ^ b')' ^ ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))') = ((a v b) ^ ((a ^ b') v (a' ^ (a v b'))))
2019ax-r4 37 . . . 4 ((a' ^ b')' ^ ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))')' = ((a v b) ^ ((a ^ b') v (a' ^ (a v b'))))'
212, 20ax-r2 36 . . 3 ((a' ^ b') v ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))) = ((a v b) ^ ((a ^ b') v (a' ^ (a v b'))))'
221, 21ax-r2 36 . 2 (a ->3 b) = ((a v b) ^ ((a ^ b') v (a' ^ (a v b'))))'
2322con2 67 1 (a ->3 b)' = ((a v b) ^ ((a ^ b') v (a' ^ (a v b'))))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  oi3ai3  503  i3con  551
  Copyright terms: Public domain W3C validator