QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u24lem Unicode version
Theorem u24lem 770
Description: Lemma for unified implication study.
Assertion
Ref Expression
u24lem ((a ->2 b) ^ (a ->4 b)) = (a ->5 b)
Proof of Theorem u24lem
StepHypRef Expression
1 df-i2 45 . . 3 (a ->2 b) = (b v (a' ^ b'))
21ran 78 . 2 ((a ->2 b) ^ (a ->4 b)) = ((b v (a' ^ b')) ^ (a ->4 b))
3 u4lemc1 683 . . . 4 b C (a ->4 b)
4 comanr2 465 . . . . 5 b' C (a' ^ b')
54comcom6 459 . . . 4 b C (a' ^ b')
63, 5fh2r 474 . . 3 ((b v (a' ^ b')) ^ (a ->4 b)) = ((b ^ (a ->4 b)) v ((a' ^ b') ^ (a ->4 b)))
7 ancom 74 . . . . . 6 (b ^ (a ->4 b)) = ((a ->4 b) ^ b)
8 ancom 74 . . . . . 6 ((a ->4 b) ^ b) = (b ^ (a ->4 b))
97, 8ax-r2 36 . . . . 5 (b ^ (a ->4 b)) = (b ^ (a ->4 b))
10 anass 76 . . . . . 6 ((a' ^ b') ^ (a ->4 b)) = (a' ^ (b' ^ (a ->4 b)))
11 ancom 74 . . . . . . . . 9 (b' ^ (a ->4 b)) = ((a ->4 b) ^ b')
12 u4lemanb 618 . . . . . . . . 9 ((a ->4 b) ^ b') = ((a' v b) ^ b')
1311, 12ax-r2 36 . . . . . . . 8 (b' ^ (a ->4 b)) = ((a' v b) ^ b')
1413lan 77 . . . . . . 7 (a' ^ (b' ^ (a ->4 b))) = (a' ^ ((a' v b) ^ b'))
15 anass 76 . . . . . . . . 9 ((a' ^ (a' v b)) ^ b') = (a' ^ ((a' v b) ^ b'))
1615ax-r1 35 . . . . . . . 8 (a' ^ ((a' v b) ^ b')) = ((a' ^ (a' v b)) ^ b')
17 anabs 121 . . . . . . . . . 10 (a' ^ (a' v b)) = a'
1817ran 78 . . . . . . . . 9 ((a' ^ (a' v b)) ^ b') = (a' ^ b')
19 ancom 74 . . . . . . . . 9 (a' ^ b') = (b' ^ a')
2018, 19ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' ^ (a' v b)) ^ b') = (b' ^ a')
2116, 20ax-r2 36 . . . . . . 7 (a' ^ ((a' v b) ^ b')) = (b' ^ a')
2214, 21ax-r2 36 . . . . . 6 (a' ^ (b' ^ (a ->4 b))) = (b' ^ a')
2310, 22ax-r2 36 . . . . 5 ((a' ^ b') ^ (a ->4 b)) = (b' ^ a')
249, 232or 72 . . . 4 ((b ^ (a ->4 b)) v ((a' ^ b') ^ (a ->4 b))) = ((b ^ (a ->4 b)) v (b' ^ a'))
25 comanr1 464 . . . . . . 7 b' C (b' ^ a')
2625comcom6 459 . . . . . 6 b C (b' ^ a')
2726, 3fh4r 476 . . . . 5 ((b ^ (a ->4 b)) v (b' ^ a')) = ((b v (b' ^ a')) ^ ((a ->4 b) v (b' ^ a')))
283, 26com2or 483 . . . . . . 7 b C ((a ->4 b) v (b' ^ a'))
2928, 26fh2r 474 . . . . . 6 ((b v (b' ^ a')) ^ ((a ->4 b) v (b' ^ a'))) = ((b ^ ((a ->4 b) v (b' ^ a'))) v ((b' ^ a') ^ ((a ->4 b) v (b' ^ a'))))
303, 26fh1 469 . . . . . . . . 9 (b ^ ((a ->4 b) v (b' ^ a'))) = ((b ^ (a ->4 b)) v (b ^ (b' ^ a')))
31 u4lemab 613 . . . . . . . . . . . 12 ((a ->4 b) ^ b) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
327, 31ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 (b ^ (a ->4 b)) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
3332ax-r5 38 . . . . . . . . . 10 ((b ^ (a ->4 b)) v (b ^ (b' ^ a'))) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (b ^ (b' ^ a')))
34 id 59 . . . . . . . . . 10 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (b ^ (b' ^ a'))) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (b ^ (b' ^ a')))
3533, 34ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((b ^ (a ->4 b)) v (b ^ (b' ^ a'))) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (b ^ (b' ^ a')))
3630, 35ax-r2 36 . . . . . . . 8 (b ^ ((a ->4 b) v (b' ^ a'))) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (b ^ (b' ^ a')))
37 leor 159 . . . . . . . . 9 (b' ^ a') =< ((a ->4 b) v (b' ^ a'))
3837df2le2 136 . . . . . . . 8 ((b' ^ a') ^ ((a ->4 b) v (b' ^ a'))) = (b' ^ a')
3936, 382or 72 . . . . . . 7 ((b ^ ((a ->4 b) v (b' ^ a'))) v ((b' ^ a') ^ ((a ->4 b) v (b' ^ a')))) = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (b ^ (b' ^ a'))) v (b' ^ a'))
40 ax-a3 32 . . . . . . . 8 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (b ^ (b' ^ a'))) v (b' ^ a')) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((b ^ (b' ^ a')) v (b' ^ a')))
41 lear 161 . . . . . . . . . . . 12 (b ^ (b' ^ a')) =< (b' ^ a')
4241df-le2 131 . . . . . . . . . . 11 ((b ^ (b' ^ a')) v (b' ^ a')) = (b' ^ a')
43 ancom 74 . . . . . . . . . . 11 (b' ^ a') = (a' ^ b')
4442, 43ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((b ^ (b' ^ a')) v (b' ^ a')) = (a' ^ b')
4544lor 70 . . . . . . . . 9 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((b ^ (b' ^ a')) v (b' ^ a'))) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b'))
46 df-i5 48 . . . . . . . . . . 11 (a ->5 b) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b'))
4746ax-r1 35 . . . . . . . . . 10 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) = (a ->5 b)
48 id 59 . . . . . . . . . 10 (a ->5 b) = (a ->5 b)
4947, 48ax-r2 36 . . . . . . . . 9 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) = (a ->5 b)
5045, 49ax-r2 36 . . . . . . . 8 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((b ^ (b' ^ a')) v (b' ^ a'))) = (a ->5 b)
5140, 50ax-r2 36 . . . . . . 7 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (b ^ (b' ^ a'))) v (b' ^ a')) = (a ->5 b)
5239, 51ax-r2 36 . . . . . 6 ((b ^ ((a ->4 b) v (b' ^ a'))) v ((b' ^ a') ^ ((a ->4 b) v (b' ^ a')))) = (a ->5 b)
5329, 52ax-r2 36 . . . . 5 ((b v (b' ^ a')) ^ ((a ->4 b) v (b' ^ a'))) = (a ->5 b)
5427, 53ax-r2 36 . . . 4 ((b ^ (a ->4 b)) v (b' ^ a')) = (a ->5 b)
5524, 54ax-r2 36 . . 3 ((b ^ (a ->4 b)) v ((a' ^ b') ^ (a ->4 b))) = (a ->5 b)
566, 55ax-r2 36 . 2 ((b v (a' ^ b')) ^ (a ->4 b)) = (a ->5 b)
572, 56ax-r2 36 1 ((a ->2 b) ^ (a ->4 b)) = (a ->5 b)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->2 wi2 13   ->4 wi4 15   ->5 wi5 16
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i2 45  df-i4 47  df-i5 48  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  negant5  863
  Copyright terms: Public domain W3C validator