QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u4lemanb Unicode version
Theorem u4lemanb 618
Description: Lemma for non-tollens implication study.
Assertion
Ref Expression
u4lemanb ((a ->4 b) ^ b') = ((a' v b) ^ b')
Proof of Theorem u4lemanb
StepHypRef Expression
1 df-i4 47 . . 3 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))
21ran 78 . 2 ((a ->4 b) ^ b') = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) ^ b')
3 comanr2 465 . . . . . 6 b C (a ^ b)
43comcom3 454 . . . . 5 b' C (a ^ b)
5 comanr2 465 . . . . . 6 b C (a' ^ b)
65comcom3 454 . . . . 5 b' C (a' ^ b)
74, 6com2or 483 . . . 4 b' C ((a ^ b) v (a' ^ b))
8 comorr2 463 . . . . . 6 b C (a' v b)
98comcom3 454 . . . . 5 b' C (a' v b)
10 comid 187 . . . . 5 b' C b'
119, 10com2an 484 . . . 4 b' C ((a' v b) ^ b')
127, 11fh1r 473 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) ^ b') = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b') v (((a' v b) ^ b') ^ b'))
13 ax-a2 31 . . . 4 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b') v (((a' v b) ^ b') ^ b')) = ((((a' v b) ^ b') ^ b') v (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b'))
14 anass 76 . . . . . . 7 (((a' v b) ^ b') ^ b') = ((a' v b) ^ (b' ^ b'))
15 anidm 111 . . . . . . . 8 (b' ^ b') = b'
1615lan 77 . . . . . . 7 ((a' v b) ^ (b' ^ b')) = ((a' v b) ^ b')
1714, 16ax-r2 36 . . . . . 6 (((a' v b) ^ b') ^ b') = ((a' v b) ^ b')
184, 6fh1r 473 . . . . . . 7 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b') = (((a ^ b) ^ b') v ((a' ^ b) ^ b'))
19 anass 76 . . . . . . . . . 10 ((a ^ b) ^ b') = (a ^ (b ^ b'))
20 dff 101 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (b ^ b')
2120lan 77 . . . . . . . . . . . 12 (a ^ 0) = (a ^ (b ^ b'))
2221ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 (a ^ (b ^ b')) = (a ^ 0)
23 an0 108 . . . . . . . . . . 11 (a ^ 0) = 0
2422, 23ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (a ^ (b ^ b')) = 0
2519, 24ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) ^ b') = 0
26 anass 76 . . . . . . . . . 10 ((a' ^ b) ^ b') = (a' ^ (b ^ b'))
2720lan 77 . . . . . . . . . . . 12 (a' ^ 0) = (a' ^ (b ^ b'))
2827ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ (b ^ b')) = (a' ^ 0)
29 an0 108 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ 0) = 0
3028, 29ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (a' ^ (b ^ b')) = 0
3126, 30ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) ^ b') = 0
3225, 312or 72 . . . . . . . 8 (((a ^ b) ^ b') v ((a' ^ b) ^ b')) = (0 v 0)
33 or0 102 . . . . . . . 8 (0 v 0) = 0
3432, 33ax-r2 36 . . . . . . 7 (((a ^ b) ^ b') v ((a' ^ b) ^ b')) = 0
3518, 34ax-r2 36 . . . . . 6 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b') = 0
3617, 352or 72 . . . . 5 ((((a' v b) ^ b') ^ b') v (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b')) = (((a' v b) ^ b') v 0)
37 or0 102 . . . . 5 (((a' v b) ^ b') v 0) = ((a' v b) ^ b')
3836, 37ax-r2 36 . . . 4 ((((a' v b) ^ b') ^ b') v (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b')) = ((a' v b) ^ b')
3913, 38ax-r2 36 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b') v (((a' v b) ^ b') ^ b')) = ((a' v b) ^ b')
4012, 39ax-r2 36 . 2 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) ^ b') = ((a' v b) ^ b')
412, 40ax-r2 36 1 ((a ->4 b) ^ b') = ((a' v b) ^ b')
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u4lemnob  673  u24lem  770
  Copyright terms: Public domain W3C validator