QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u3lemanb Unicode version
Theorem u3lemanb 617
Description: Lemma for Kalmbach implication study.
Assertion
Ref Expression
u3lemanb ((a ->3 b) ^ b') = (a' ^ b')
Proof of Theorem u3lemanb
StepHypRef Expression
1 df-i3 46 . . 3 (a ->3 b) = (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b)))
21ran 78 . 2 ((a ->3 b) ^ b') = ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ b')
3 comanr2 465 . . . . . . 7 b C (a' ^ b)
43comcom3 454 . . . . . 6 b' C (a' ^ b)
5 comanr2 465 . . . . . 6 b' C (a' ^ b')
64, 5com2or 483 . . . . 5 b' C ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
76comcom 453 . . . 4 ((a' ^ b) v (a' ^ b')) C b'
8 coman1 185 . . . . . . . . 9 (a' ^ b) C a'
98comcom7 460 . . . . . . . 8 (a' ^ b) C a
10 coman2 186 . . . . . . . . 9 (a' ^ b) C b
118, 10com2or 483 . . . . . . . 8 (a' ^ b) C (a' v b)
129, 11com2an 484 . . . . . . 7 (a' ^ b) C (a ^ (a' v b))
1312comcom 453 . . . . . 6 (a ^ (a' v b)) C (a' ^ b)
14 coman1 185 . . . . . . . . 9 (a' ^ b') C a'
1514comcom7 460 . . . . . . . 8 (a' ^ b') C a
16 coman2 186 . . . . . . . . . 10 (a' ^ b') C b'
1716comcom7 460 . . . . . . . . 9 (a' ^ b') C b
1814, 17com2or 483 . . . . . . . 8 (a' ^ b') C (a' v b)
1915, 18com2an 484 . . . . . . 7 (a' ^ b') C (a ^ (a' v b))
2019comcom 453 . . . . . 6 (a ^ (a' v b)) C (a' ^ b')
2113, 20com2or 483 . . . . 5 (a ^ (a' v b)) C ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
2221comcom 453 . . . 4 ((a' ^ b) v (a' ^ b')) C (a ^ (a' v b))
237, 22fh2r 474 . . 3 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ b') = ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ b') v ((a ^ (a' v b)) ^ b'))
2410comcom2 183 . . . . . . 7 (a' ^ b) C b'
258, 24com2an 484 . . . . . . 7 (a' ^ b) C (a' ^ b')
2624, 25fh2r 474 . . . . . 6 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ b') = (((a' ^ b) ^ b') v ((a' ^ b') ^ b'))
27 ax-a2 31 . . . . . . 7 (((a' ^ b) ^ b') v ((a' ^ b') ^ b')) = (((a' ^ b') ^ b') v ((a' ^ b) ^ b'))
28 anass 76 . . . . . . . . . 10 ((a' ^ b') ^ b') = (a' ^ (b' ^ b'))
29 anidm 111 . . . . . . . . . . 11 (b' ^ b') = b'
3029lan 77 . . . . . . . . . 10 (a' ^ (b' ^ b')) = (a' ^ b')
3128, 30ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b') ^ b') = (a' ^ b')
32 anass 76 . . . . . . . . . 10 ((a' ^ b) ^ b') = (a' ^ (b ^ b'))
33 dff 101 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (b ^ b')
3433lan 77 . . . . . . . . . . . 12 (a' ^ 0) = (a' ^ (b ^ b'))
3534ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ (b ^ b')) = (a' ^ 0)
36 an0 108 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ 0) = 0
3735, 36ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (a' ^ (b ^ b')) = 0
3832, 37ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) ^ b') = 0
3931, 382or 72 . . . . . . . 8 (((a' ^ b') ^ b') v ((a' ^ b) ^ b')) = ((a' ^ b') v 0)
40 or0 102 . . . . . . . 8 ((a' ^ b') v 0) = (a' ^ b')
4139, 40ax-r2 36 . . . . . . 7 (((a' ^ b') ^ b') v ((a' ^ b) ^ b')) = (a' ^ b')
4227, 41ax-r2 36 . . . . . 6 (((a' ^ b) ^ b') v ((a' ^ b') ^ b')) = (a' ^ b')
4326, 42ax-r2 36 . . . . 5 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ b') = (a' ^ b')
44 an32 83 . . . . . 6 ((a ^ (a' v b)) ^ b') = ((a ^ b') ^ (a' v b))
45 ancom 74 . . . . . . 7 ((a ^ b') ^ (a' v b)) = ((a' v b) ^ (a ^ b'))
46 anor1 88 . . . . . . . . 9 (a ^ b') = (a' v b)'
4746lan 77 . . . . . . . 8 ((a' v b) ^ (a ^ b')) = ((a' v b) ^ (a' v b)')
48 dff 101 . . . . . . . . 9 0 = ((a' v b) ^ (a' v b)')
4948ax-r1 35 . . . . . . . 8 ((a' v b) ^ (a' v b)') = 0
5047, 49ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a' v b) ^ (a ^ b')) = 0
5145, 50ax-r2 36 . . . . . 6 ((a ^ b') ^ (a' v b)) = 0
5244, 51ax-r2 36 . . . . 5 ((a ^ (a' v b)) ^ b') = 0
5343, 522or 72 . . . 4 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ b') v ((a ^ (a' v b)) ^ b')) = ((a' ^ b') v 0)
5453, 40ax-r2 36 . . 3 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ b') v ((a ^ (a' v b)) ^ b')) = (a' ^ b')
5523, 54ax-r2 36 . 2 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ b') = (a' ^ b')
562, 55ax-r2 36 1 ((a ->3 b) ^ b') = (a' ^ b')
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u3lemnob  672  u3lem3  751  u3lem13b  790  neg3antlem2  865
  Copyright terms: Public domain W3C validator