QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u4lemaa Unicode version
Theorem u4lemaa 603
Description: Lemma for non-tollens implication study.
Assertion
Ref Expression
u4lemaa ((a ->4 b) ^ a) = (a ^ b)
Proof of Theorem u4lemaa
StepHypRef Expression
1 df-i4 47 . . 3 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))
21ran 78 . 2 ((a ->4 b) ^ a) = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) ^ a)
3 comanr1 464 . . . . . 6 a C (a ^ b)
4 comanr1 464 . . . . . . 7 a' C (a' ^ b)
54comcom6 459 . . . . . 6 a C (a' ^ b)
63, 5com2or 483 . . . . 5 a C ((a ^ b) v (a' ^ b))
76comcom 453 . . . 4 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C a
83comcom3 454 . . . . . . . 8 a' C (a ^ b)
98, 4com2or 483 . . . . . . 7 a' C ((a ^ b) v (a' ^ b))
109comcom 453 . . . . . 6 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C a'
11 comanr2 465 . . . . . . . 8 b C (a ^ b)
12 comanr2 465 . . . . . . . 8 b C (a' ^ b)
1311, 12com2or 483 . . . . . . 7 b C ((a ^ b) v (a' ^ b))
1413comcom 453 . . . . . 6 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C b
1510, 14com2or 483 . . . . 5 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C (a' v b)
1614comcom2 183 . . . . 5 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C b'
1715, 16com2an 484 . . . 4 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C ((a' v b) ^ b')
187, 17fh2r 474 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) ^ a) = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a) v (((a' v b) ^ b') ^ a))
193, 5fh1r 473 . . . . . 6 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a) = (((a ^ b) ^ a) v ((a' ^ b) ^ a))
20 an32 83 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) ^ a) = ((a ^ a) ^ b)
21 anidm 111 . . . . . . . . . 10 (a ^ a) = a
2221ran 78 . . . . . . . . 9 ((a ^ a) ^ b) = (a ^ b)
2320, 22ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a ^ b) ^ a) = (a ^ b)
24 ancom 74 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) ^ a) = (a ^ (a' ^ b))
25 anass 76 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ a') ^ b) = (a ^ (a' ^ b))
2625ax-r1 35 . . . . . . . . . 10 (a ^ (a' ^ b)) = ((a ^ a') ^ b)
27 ancom 74 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ a') ^ b) = (b ^ (a ^ a'))
28 dff 101 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (a ^ a')
2928ax-r1 35 . . . . . . . . . . . . 13 (a ^ a') = 0
3029lan 77 . . . . . . . . . . . 12 (b ^ (a ^ a')) = (b ^ 0)
31 an0 108 . . . . . . . . . . . 12 (b ^ 0) = 0
3230, 31ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 (b ^ (a ^ a')) = 0
3327, 32ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((a ^ a') ^ b) = 0
3426, 33ax-r2 36 . . . . . . . . 9 (a ^ (a' ^ b)) = 0
3524, 34ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' ^ b) ^ a) = 0
3623, 352or 72 . . . . . . 7 (((a ^ b) ^ a) v ((a' ^ b) ^ a)) = ((a ^ b) v 0)
37 or0 102 . . . . . . 7 ((a ^ b) v 0) = (a ^ b)
3836, 37ax-r2 36 . . . . . 6 (((a ^ b) ^ a) v ((a' ^ b) ^ a)) = (a ^ b)
3919, 38ax-r2 36 . . . . 5 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a) = (a ^ b)
40 anass 76 . . . . . 6 (((a' v b) ^ b') ^ a) = ((a' v b) ^ (b' ^ a))
41 ancom 74 . . . . . . . . 9 (b' ^ a) = (a ^ b')
42 anor1 88 . . . . . . . . 9 (a ^ b') = (a' v b)'
4341, 42ax-r2 36 . . . . . . . 8 (b' ^ a) = (a' v b)'
4443lan 77 . . . . . . 7 ((a' v b) ^ (b' ^ a)) = ((a' v b) ^ (a' v b)')
45 dff 101 . . . . . . . 8 0 = ((a' v b) ^ (a' v b)')
4645ax-r1 35 . . . . . . 7 ((a' v b) ^ (a' v b)') = 0
4744, 46ax-r2 36 . . . . . 6 ((a' v b) ^ (b' ^ a)) = 0
4840, 47ax-r2 36 . . . . 5 (((a' v b) ^ b') ^ a) = 0
4939, 482or 72 . . . 4 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a) v (((a' v b) ^ b') ^ a)) = ((a ^ b) v 0)
5049, 37ax-r2 36 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a) v (((a' v b) ^ b') ^ a)) = (a ^ b)
5118, 50ax-r2 36 . 2 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) ^ a) = (a ^ b)
522, 51ax-r2 36 1 ((a ->4 b) ^ a) = (a ^ b)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u4lemnona  668  u4lem1  737  u4lem5  764
  Copyright terms: Public domain W3C validator