QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u5lemaa Unicode version
Theorem u5lemaa 604
Description: Lemma for relevance implication study.
Assertion
Ref Expression
u5lemaa ((a ->5 b) ^ a) = (a ^ b)
Proof of Theorem u5lemaa
StepHypRef Expression
1 df-i5 48 . . 3 (a ->5 b) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b'))
21ran 78 . 2 ((a ->5 b) ^ a) = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ a)
3 comanr1 464 . . . . 5 a C (a ^ b)
4 comanr1 464 . . . . . 6 a' C (a' ^ b)
54comcom6 459 . . . . 5 a C (a' ^ b)
63, 5com2or 483 . . . 4 a C ((a ^ b) v (a' ^ b))
7 comanr1 464 . . . . 5 a' C (a' ^ b')
87comcom6 459 . . . 4 a C (a' ^ b')
96, 8fh1r 473 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ a) = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a) v ((a' ^ b') ^ a))
103, 5fh1r 473 . . . . . 6 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a) = (((a ^ b) ^ a) v ((a' ^ b) ^ a))
11 an32 83 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) ^ a) = ((a ^ a) ^ b)
12 anidm 111 . . . . . . . . . 10 (a ^ a) = a
1312ran 78 . . . . . . . . 9 ((a ^ a) ^ b) = (a ^ b)
1411, 13ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a ^ b) ^ a) = (a ^ b)
15 an32 83 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) ^ a) = ((a' ^ a) ^ b)
16 ancom 74 . . . . . . . . . 10 ((a' ^ a) ^ b) = (b ^ (a' ^ a))
17 ancom 74 . . . . . . . . . . . . . 14 (a ^ a') = (a' ^ a)
1817ax-r1 35 . . . . . . . . . . . . 13 (a' ^ a) = (a ^ a')
19 dff 101 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (a ^ a')
2019ax-r1 35 . . . . . . . . . . . . 13 (a ^ a') = 0
2118, 20ax-r2 36 . . . . . . . . . . . 12 (a' ^ a) = 0
2221lan 77 . . . . . . . . . . 11 (b ^ (a' ^ a)) = (b ^ 0)
23 an0 108 . . . . . . . . . . 11 (b ^ 0) = 0
2422, 23ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (b ^ (a' ^ a)) = 0
2516, 24ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a' ^ a) ^ b) = 0
2615, 25ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' ^ b) ^ a) = 0
2714, 262or 72 . . . . . . 7 (((a ^ b) ^ a) v ((a' ^ b) ^ a)) = ((a ^ b) v 0)
28 or0 102 . . . . . . 7 ((a ^ b) v 0) = (a ^ b)
2927, 28ax-r2 36 . . . . . 6 (((a ^ b) ^ a) v ((a' ^ b) ^ a)) = (a ^ b)
3010, 29ax-r2 36 . . . . 5 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a) = (a ^ b)
31 ancom 74 . . . . 5 ((a' ^ b') ^ a) = (a ^ (a' ^ b'))
3230, 312or 72 . . . 4 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a) v ((a' ^ b') ^ a)) = ((a ^ b) v (a ^ (a' ^ b')))
333, 8fh4 472 . . . . 5 ((a ^ b) v (a ^ (a' ^ b'))) = (((a ^ b) v a) ^ ((a ^ b) v (a' ^ b')))
34 ax-a2 31 . . . . . . . 8 ((a ^ b) v a) = (a v (a ^ b))
35 orabs 120 . . . . . . . 8 (a v (a ^ b)) = a
3634, 35ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a ^ b) v a) = a
3736ran 78 . . . . . 6 (((a ^ b) v a) ^ ((a ^ b) v (a' ^ b'))) = (a ^ ((a ^ b) v (a' ^ b')))
383, 8fh1 469 . . . . . . 7 (a ^ ((a ^ b) v (a' ^ b'))) = ((a ^ (a ^ b)) v (a ^ (a' ^ b')))
39 anass 76 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ a) ^ b) = (a ^ (a ^ b))
4039ax-r1 35 . . . . . . . . . 10 (a ^ (a ^ b)) = ((a ^ a) ^ b)
4140, 13ax-r2 36 . . . . . . . . 9 (a ^ (a ^ b)) = (a ^ b)
42 anass 76 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ a') ^ b') = (a ^ (a' ^ b'))
4342ax-r1 35 . . . . . . . . . 10 (a ^ (a' ^ b')) = ((a ^ a') ^ b')
44 ancom 74 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ a') ^ b') = (b' ^ (a ^ a'))
4519lan 77 . . . . . . . . . . . . 13 (b' ^ 0) = (b' ^ (a ^ a'))
4645ax-r1 35 . . . . . . . . . . . 12 (b' ^ (a ^ a')) = (b' ^ 0)
47 an0 108 . . . . . . . . . . . 12 (b' ^ 0) = 0
4846, 47ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 (b' ^ (a ^ a')) = 0
4944, 48ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((a ^ a') ^ b') = 0
5043, 49ax-r2 36 . . . . . . . . 9 (a ^ (a' ^ b')) = 0
5141, 502or 72 . . . . . . . 8 ((a ^ (a ^ b)) v (a ^ (a' ^ b'))) = ((a ^ b) v 0)
5251, 28ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a ^ (a ^ b)) v (a ^ (a' ^ b'))) = (a ^ b)
5338, 52ax-r2 36 . . . . . 6 (a ^ ((a ^ b) v (a' ^ b'))) = (a ^ b)
5437, 53ax-r2 36 . . . . 5 (((a ^ b) v a) ^ ((a ^ b) v (a' ^ b'))) = (a ^ b)
5533, 54ax-r2 36 . . . 4 ((a ^ b) v (a ^ (a' ^ b'))) = (a ^ b)
5632, 55ax-r2 36 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a) v ((a' ^ b') ^ a)) = (a ^ b)
579, 56ax-r2 36 . 2 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ a) = (a ^ b)
582, 57ax-r2 36 1 ((a ->5 b) ^ a) = (a ^ b)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->5 wi5 16
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i5 48  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u5lemnona  669  u5lembi  725
  Copyright terms: Public domain W3C validator