QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u4lemana Unicode version
Theorem u4lemana 608
Description: Lemma for non-tollens implication study.
Assertion
Ref Expression
u4lemana ((a ->4 b) ^ a') = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
Proof of Theorem u4lemana
StepHypRef Expression
1 df-i4 47 . . 3 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))
21ran 78 . 2 ((a ->4 b) ^ a') = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) ^ a')
3 comanr1 464 . . . . . . 7 a C (a ^ b)
43comcom3 454 . . . . . 6 a' C (a ^ b)
5 comanr1 464 . . . . . 6 a' C (a' ^ b)
64, 5com2or 483 . . . . 5 a' C ((a ^ b) v (a' ^ b))
76comcom 453 . . . 4 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C a'
8 comor1 461 . . . . . . . . 9 (a' v b) C a'
98comcom7 460 . . . . . . . 8 (a' v b) C a
10 comor2 462 . . . . . . . 8 (a' v b) C b
119, 10com2an 484 . . . . . . 7 (a' v b) C (a ^ b)
128, 10com2an 484 . . . . . . 7 (a' v b) C (a' ^ b)
1311, 12com2or 483 . . . . . 6 (a' v b) C ((a ^ b) v (a' ^ b))
1413comcom 453 . . . . 5 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C (a' v b)
15 comanr2 465 . . . . . . . 8 b C (a ^ b)
1615comcom3 454 . . . . . . 7 b' C (a ^ b)
17 comanr2 465 . . . . . . . 8 b C (a' ^ b)
1817comcom3 454 . . . . . . 7 b' C (a' ^ b)
1916, 18com2or 483 . . . . . 6 b' C ((a ^ b) v (a' ^ b))
2019comcom 453 . . . . 5 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C b'
2114, 20com2an 484 . . . 4 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C ((a' v b) ^ b')
227, 21fh2r 474 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) ^ a') = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a') v (((a' v b) ^ b') ^ a'))
234, 5fh1r 473 . . . . . 6 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a') = (((a ^ b) ^ a') v ((a' ^ b) ^ a'))
24 an32 83 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) ^ a') = ((a ^ a') ^ b)
25 ancom 74 . . . . . . . . . 10 ((a ^ a') ^ b) = (b ^ (a ^ a'))
26 dff 101 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (a ^ a')
2726ax-r1 35 . . . . . . . . . . . 12 (a ^ a') = 0
2827lan 77 . . . . . . . . . . 11 (b ^ (a ^ a')) = (b ^ 0)
29 an0 108 . . . . . . . . . . 11 (b ^ 0) = 0
3028, 29ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (b ^ (a ^ a')) = 0
3125, 30ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a ^ a') ^ b) = 0
3224, 31ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a ^ b) ^ a') = 0
33 an32 83 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) ^ a') = ((a' ^ a') ^ b)
34 anidm 111 . . . . . . . . . 10 (a' ^ a') = a'
3534ran 78 . . . . . . . . 9 ((a' ^ a') ^ b) = (a' ^ b)
3633, 35ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' ^ b) ^ a') = (a' ^ b)
3732, 362or 72 . . . . . . 7 (((a ^ b) ^ a') v ((a' ^ b) ^ a')) = (0 v (a' ^ b))
38 ax-a2 31 . . . . . . . 8 (0 v (a' ^ b)) = ((a' ^ b) v 0)
39 or0 102 . . . . . . . 8 ((a' ^ b) v 0) = (a' ^ b)
4038, 39ax-r2 36 . . . . . . 7 (0 v (a' ^ b)) = (a' ^ b)
4137, 40ax-r2 36 . . . . . 6 (((a ^ b) ^ a') v ((a' ^ b) ^ a')) = (a' ^ b)
4223, 41ax-r2 36 . . . . 5 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a') = (a' ^ b)
43 an32 83 . . . . . 6 (((a' v b) ^ b') ^ a') = (((a' v b) ^ a') ^ b')
44 ancom 74 . . . . . . . 8 ((a' v b) ^ a') = (a' ^ (a' v b))
45 leo 158 . . . . . . . . 9 a' =< (a' v b)
4645df2le2 136 . . . . . . . 8 (a' ^ (a' v b)) = a'
4744, 46ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a' v b) ^ a') = a'
4847ran 78 . . . . . 6 (((a' v b) ^ a') ^ b') = (a' ^ b')
4943, 48ax-r2 36 . . . . 5 (((a' v b) ^ b') ^ a') = (a' ^ b')
5042, 492or 72 . . . 4 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a') v (((a' v b) ^ b') ^ a')) = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
51 id 59 . . . 4 ((a' ^ b) v (a' ^ b')) = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
5250, 51ax-r2 36 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a') v (((a' v b) ^ b') ^ a')) = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
5322, 52ax-r2 36 . 2 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) ^ a') = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
542, 53ax-r2 36 1 ((a ->4 b) ^ a') = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u4lemnoa  663  u4lem5  764
  Copyright terms: Public domain W3C validator