QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u5lemana Unicode version
Theorem u5lemana 609
Description: Lemma for relevance implication study.
Assertion
Ref Expression
u5lemana ((a ->5 b) ^ a') = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
Proof of Theorem u5lemana
StepHypRef Expression
1 df-i5 48 . . 3 (a ->5 b) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b'))
21ran 78 . 2 ((a ->5 b) ^ a') = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ a')
3 comanr1 464 . . . . . 6 a C (a ^ b)
43comcom3 454 . . . . 5 a' C (a ^ b)
5 comanr1 464 . . . . 5 a' C (a' ^ b)
64, 5com2or 483 . . . 4 a' C ((a ^ b) v (a' ^ b))
7 comanr1 464 . . . 4 a' C (a' ^ b')
86, 7fh1r 473 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ a') = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a') v ((a' ^ b') ^ a'))
94, 5fh1r 473 . . . . 5 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a') = (((a ^ b) ^ a') v ((a' ^ b) ^ a'))
10 ax-a2 31 . . . . . 6 (((a ^ b) ^ a') v ((a' ^ b) ^ a')) = (((a' ^ b) ^ a') v ((a ^ b) ^ a'))
11 an32 83 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) ^ a') = ((a' ^ a') ^ b)
12 anidm 111 . . . . . . . . . 10 (a' ^ a') = a'
1312ran 78 . . . . . . . . 9 ((a' ^ a') ^ b) = (a' ^ b)
1411, 13ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' ^ b) ^ a') = (a' ^ b)
15 an32 83 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) ^ a') = ((a ^ a') ^ b)
16 ancom 74 . . . . . . . . . 10 ((a ^ a') ^ b) = (b ^ (a ^ a'))
17 dff 101 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (a ^ a')
1817lan 77 . . . . . . . . . . . 12 (b ^ 0) = (b ^ (a ^ a'))
1918ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 (b ^ (a ^ a')) = (b ^ 0)
20 an0 108 . . . . . . . . . . 11 (b ^ 0) = 0
2119, 20ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (b ^ (a ^ a')) = 0
2216, 21ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a ^ a') ^ b) = 0
2315, 22ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a ^ b) ^ a') = 0
2414, 232or 72 . . . . . . 7 (((a' ^ b) ^ a') v ((a ^ b) ^ a')) = ((a' ^ b) v 0)
25 or0 102 . . . . . . 7 ((a' ^ b) v 0) = (a' ^ b)
2624, 25ax-r2 36 . . . . . 6 (((a' ^ b) ^ a') v ((a ^ b) ^ a')) = (a' ^ b)
2710, 26ax-r2 36 . . . . 5 (((a ^ b) ^ a') v ((a' ^ b) ^ a')) = (a' ^ b)
289, 27ax-r2 36 . . . 4 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a') = (a' ^ b)
29 an32 83 . . . . 5 ((a' ^ b') ^ a') = ((a' ^ a') ^ b')
3012ran 78 . . . . 5 ((a' ^ a') ^ b') = (a' ^ b')
3129, 30ax-r2 36 . . . 4 ((a' ^ b') ^ a') = (a' ^ b')
3228, 312or 72 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a') v ((a' ^ b') ^ a')) = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
338, 32ax-r2 36 . 2 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ a') = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
342, 33ax-r2 36 1 ((a ->5 b) ^ a') = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->5 wi5 16
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i5 48  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u5lemnoa  664
  Copyright terms: Public domain W3C validator