QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u5lembi Unicode version
Theorem u5lembi 725
Description: Relevance implication and biconditional.
Assertion
Ref Expression
u5lembi ((a ->5 b) ^ (b ->5 a)) = (a == b)
Proof of Theorem u5lembi
StepHypRef Expression
1 u5lemc1b 685 . . . . . . 7 b C (a ->5 b)
21comcom 453 . . . . . 6 (a ->5 b) C b
3 u5lemc1 684 . . . . . . 7 a C (a ->5 b)
43comcom 453 . . . . . 6 (a ->5 b) C a
52, 4com2an 484 . . . . 5 (a ->5 b) C (b ^ a)
62comcom2 183 . . . . . 6 (a ->5 b) C b'
76, 4com2an 484 . . . . 5 (a ->5 b) C (b' ^ a)
85, 7com2or 483 . . . 4 (a ->5 b) C ((b ^ a) v (b' ^ a))
94comcom2 183 . . . . 5 (a ->5 b) C a'
106, 9com2an 484 . . . 4 (a ->5 b) C (b' ^ a')
118, 10fh1 469 . . 3 ((a ->5 b) ^ (((b ^ a) v (b' ^ a)) v (b' ^ a'))) = (((a ->5 b) ^ ((b ^ a) v (b' ^ a))) v ((a ->5 b) ^ (b' ^ a')))
125, 7fh1 469 . . . . . 6 ((a ->5 b) ^ ((b ^ a) v (b' ^ a))) = (((a ->5 b) ^ (b ^ a)) v ((a ->5 b) ^ (b' ^ a)))
13 ancom 74 . . . . . . . . 9 ((a ->5 b) ^ (b ^ a)) = ((b ^ a) ^ (a ->5 b))
14 ancom 74 . . . . . . . . . . 11 (b ^ a) = (a ^ b)
15 df-i5 48 . . . . . . . . . . . 12 (a ->5 b) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b'))
16 ax-a3 32 . . . . . . . . . . . 12 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) = ((a ^ b) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))
1715, 16ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 (a ->5 b) = ((a ^ b) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))
1814, 172an 79 . . . . . . . . . 10 ((b ^ a) ^ (a ->5 b)) = ((a ^ b) ^ ((a ^ b) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))))
19 anabs 121 . . . . . . . . . 10 ((a ^ b) ^ ((a ^ b) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))) = (a ^ b)
2018, 19ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((b ^ a) ^ (a ->5 b)) = (a ^ b)
2113, 20ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a ->5 b) ^ (b ^ a)) = (a ^ b)
22 anandi 114 . . . . . . . . 9 ((a ->5 b) ^ (b' ^ a)) = (((a ->5 b) ^ b') ^ ((a ->5 b) ^ a))
23 u5lemanb 619 . . . . . . . . . . 11 ((a ->5 b) ^ b') = (a' ^ b')
24 u5lemaa 604 . . . . . . . . . . 11 ((a ->5 b) ^ a) = (a ^ b)
2523, 242an 79 . . . . . . . . . 10 (((a ->5 b) ^ b') ^ ((a ->5 b) ^ a)) = ((a' ^ b') ^ (a ^ b))
26 ancom 74 . . . . . . . . . . 11 ((a' ^ b') ^ (a ^ b)) = ((a ^ b) ^ (a' ^ b'))
27 an4 86 . . . . . . . . . . . 12 ((a ^ b) ^ (a' ^ b')) = ((a ^ a') ^ (b ^ b'))
28 dff 101 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (b ^ b')
2928ax-r1 35 . . . . . . . . . . . . . 14 (b ^ b') = 0
3029lan 77 . . . . . . . . . . . . 13 ((a ^ a') ^ (b ^ b')) = ((a ^ a') ^ 0)
31 an0 108 . . . . . . . . . . . . 13 ((a ^ a') ^ 0) = 0
3230, 31ax-r2 36 . . . . . . . . . . . 12 ((a ^ a') ^ (b ^ b')) = 0
3327, 32ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ b) ^ (a' ^ b')) = 0
3426, 33ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((a' ^ b') ^ (a ^ b)) = 0
3525, 34ax-r2 36 . . . . . . . . 9 (((a ->5 b) ^ b') ^ ((a ->5 b) ^ a)) = 0
3622, 35ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a ->5 b) ^ (b' ^ a)) = 0
3721, 362or 72 . . . . . . 7 (((a ->5 b) ^ (b ^ a)) v ((a ->5 b) ^ (b' ^ a))) = ((a ^ b) v 0)
38 or0 102 . . . . . . 7 ((a ^ b) v 0) = (a ^ b)
3937, 38ax-r2 36 . . . . . 6 (((a ->5 b) ^ (b ^ a)) v ((a ->5 b) ^ (b' ^ a))) = (a ^ b)
4012, 39ax-r2 36 . . . . 5 ((a ->5 b) ^ ((b ^ a) v (b' ^ a))) = (a ^ b)
41 ancom 74 . . . . . 6 ((a ->5 b) ^ (b' ^ a')) = ((b' ^ a') ^ (a ->5 b))
42 ancom 74 . . . . . . . 8 (b' ^ a') = (a' ^ b')
43 ax-a2 31 . . . . . . . . 9 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) = ((a' ^ b') v ((a ^ b) v (a' ^ b)))
4415, 43ax-r2 36 . . . . . . . 8 (a ->5 b) = ((a' ^ b') v ((a ^ b) v (a' ^ b)))
4542, 442an 79 . . . . . . 7 ((b' ^ a') ^ (a ->5 b)) = ((a' ^ b') ^ ((a' ^ b') v ((a ^ b) v (a' ^ b))))
46 anabs 121 . . . . . . 7 ((a' ^ b') ^ ((a' ^ b') v ((a ^ b) v (a' ^ b)))) = (a' ^ b')
4745, 46ax-r2 36 . . . . . 6 ((b' ^ a') ^ (a ->5 b)) = (a' ^ b')
4841, 47ax-r2 36 . . . . 5 ((a ->5 b) ^ (b' ^ a')) = (a' ^ b')
4940, 482or 72 . . . 4 (((a ->5 b) ^ ((b ^ a) v (b' ^ a))) v ((a ->5 b) ^ (b' ^ a'))) = ((a ^ b) v (a' ^ b'))
50 id 59 . . . 4 ((a ^ b) v (a' ^ b')) = ((a ^ b) v (a' ^ b'))
5149, 50ax-r2 36 . . 3 (((a ->5 b) ^ ((b ^ a) v (b' ^ a))) v ((a ->5 b) ^ (b' ^ a'))) = ((a ^ b) v (a' ^ b'))
5211, 51ax-r2 36 . 2 ((a ->5 b) ^ (((b ^ a) v (b' ^ a)) v (b' ^ a'))) = ((a ^ b) v (a' ^ b'))
53 df-i5 48 . . 3 (b ->5 a) = (((b ^ a) v (b' ^ a)) v (b' ^ a'))
5453lan 77 . 2 ((a ->5 b) ^ (b ->5 a)) = ((a ->5 b) ^ (((b ^ a) v (b' ^ a)) v (b' ^ a')))
55 dfb 94 . 2 (a == b) = ((a ^ b) v (a' ^ b'))
5652, 54, 553tr1 63 1 ((a ->5 b) ^ (b ->5 a)) = (a == b)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   == tb 5   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->5 wi5 16
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i5 48  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  oago3.21x  890
  Copyright terms: Public domain W3C validator