QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u5lemanb Unicode version
Theorem u5lemanb 619
Description: Lemma for relevance implication study.
Assertion
Ref Expression
u5lemanb ((a ->5 b) ^ b') = (a' ^ b')
Proof of Theorem u5lemanb
StepHypRef Expression
1 df-i5 48 . . 3 (a ->5 b) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b'))
21ran 78 . 2 ((a ->5 b) ^ b') = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ b')
3 comanr2 465 . . . . . 6 b C (a ^ b)
43comcom3 454 . . . . 5 b' C (a ^ b)
5 comanr2 465 . . . . . 6 b C (a' ^ b)
65comcom3 454 . . . . 5 b' C (a' ^ b)
74, 6com2or 483 . . . 4 b' C ((a ^ b) v (a' ^ b))
8 comanr2 465 . . . 4 b' C (a' ^ b')
97, 8fh1r 473 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ b') = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b') v ((a' ^ b') ^ b'))
10 ax-a2 31 . . . 4 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b') v ((a' ^ b') ^ b')) = (((a' ^ b') ^ b') v (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b'))
11 anass 76 . . . . . . 7 ((a' ^ b') ^ b') = (a' ^ (b' ^ b'))
12 anidm 111 . . . . . . . 8 (b' ^ b') = b'
1312lan 77 . . . . . . 7 (a' ^ (b' ^ b')) = (a' ^ b')
1411, 13ax-r2 36 . . . . . 6 ((a' ^ b') ^ b') = (a' ^ b')
154, 6fh1r 473 . . . . . . 7 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b') = (((a ^ b) ^ b') v ((a' ^ b) ^ b'))
16 anass 76 . . . . . . . . . 10 ((a ^ b) ^ b') = (a ^ (b ^ b'))
17 dff 101 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (b ^ b')
1817lan 77 . . . . . . . . . . . 12 (a ^ 0) = (a ^ (b ^ b'))
1918ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 (a ^ (b ^ b')) = (a ^ 0)
20 an0 108 . . . . . . . . . . 11 (a ^ 0) = 0
2119, 20ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (a ^ (b ^ b')) = 0
2216, 21ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) ^ b') = 0
23 anass 76 . . . . . . . . . 10 ((a' ^ b) ^ b') = (a' ^ (b ^ b'))
2417lan 77 . . . . . . . . . . . 12 (a' ^ 0) = (a' ^ (b ^ b'))
2524ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ (b ^ b')) = (a' ^ 0)
26 an0 108 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ 0) = 0
2725, 26ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (a' ^ (b ^ b')) = 0
2823, 27ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) ^ b') = 0
2922, 282or 72 . . . . . . . 8 (((a ^ b) ^ b') v ((a' ^ b) ^ b')) = (0 v 0)
30 or0 102 . . . . . . . 8 (0 v 0) = 0
3129, 30ax-r2 36 . . . . . . 7 (((a ^ b) ^ b') v ((a' ^ b) ^ b')) = 0
3215, 31ax-r2 36 . . . . . 6 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b') = 0
3314, 322or 72 . . . . 5 (((a' ^ b') ^ b') v (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b')) = ((a' ^ b') v 0)
34 or0 102 . . . . 5 ((a' ^ b') v 0) = (a' ^ b')
3533, 34ax-r2 36 . . . 4 (((a' ^ b') ^ b') v (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b')) = (a' ^ b')
3610, 35ax-r2 36 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b') v ((a' ^ b') ^ b')) = (a' ^ b')
379, 36ax-r2 36 . 2 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ b') = (a' ^ b')
382, 37ax-r2 36 1 ((a ->5 b) ^ b') = (a' ^ b')
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->5 wi5 16
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i5 48  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u5lemnob  674  u5lembi  725
  Copyright terms: Public domain W3C validator