QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  ud4lem1d Unicode version
Theorem ud4lem1d 580
Description: Lemma for unified disjunction.
Assertion
Ref Expression
ud4lem1d (((a ->4 b)' v (b ->4 a)) ^ (b ->4 a)') = (((a' v b') ^ (a' v b)) ^ a)
Proof of Theorem ud4lem1d
StepHypRef Expression
1 ud4lem1c 579 . . 3 ((a ->4 b)' v (b ->4 a)) = (a v b')
2 ud4lem0c 280 . . 3 (b ->4 a)' = (((b' v a') ^ (b v a')) ^ ((b ^ a') v a))
31, 22an 79 . 2 (((a ->4 b)' v (b ->4 a)) ^ (b ->4 a)') = ((a v b') ^ (((b' v a') ^ (b v a')) ^ ((b ^ a') v a)))
4 an12 81 . . 3 ((a v b') ^ (((b' v a') ^ (b v a')) ^ ((b ^ a') v a))) = (((b' v a') ^ (b v a')) ^ ((a v b') ^ ((b ^ a') v a)))
5 ax-a2 31 . . . . 5 (b' v a') = (a' v b')
6 ax-a2 31 . . . . 5 (b v a') = (a' v b)
75, 62an 79 . . . 4 ((b' v a') ^ (b v a')) = ((a' v b') ^ (a' v b))
8 comor2 462 . . . . . . . . 9 (a v b') C b'
98comcom3 454 . . . . . . . 8 (a v b')' C b'
109comcom5 458 . . . . . . 7 (a v b') C b
11 comor1 461 . . . . . . . 8 (a v b') C a
1211comcom2 183 . . . . . . 7 (a v b') C a'
1310, 12com2an 484 . . . . . 6 (a v b') C (b ^ a')
1413, 11fh1 469 . . . . 5 ((a v b') ^ ((b ^ a') v a)) = (((a v b') ^ (b ^ a')) v ((a v b') ^ a))
15 ax-a2 31 . . . . . . . . 9 (a v b') = (b' v a)
16 anor1 88 . . . . . . . . 9 (b ^ a') = (b' v a)'
1715, 162an 79 . . . . . . . 8 ((a v b') ^ (b ^ a')) = ((b' v a) ^ (b' v a)')
18 dff 101 . . . . . . . . 9 0 = ((b' v a) ^ (b' v a)')
1918ax-r1 35 . . . . . . . 8 ((b' v a) ^ (b' v a)') = 0
2017, 19ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a v b') ^ (b ^ a')) = 0
21 ancom 74 . . . . . . . 8 ((a v b') ^ a) = (a ^ (a v b'))
22 anabs 121 . . . . . . . 8 (a ^ (a v b')) = a
2321, 22ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a v b') ^ a) = a
2420, 232or 72 . . . . . 6 (((a v b') ^ (b ^ a')) v ((a v b') ^ a)) = (0 v a)
25 ax-a2 31 . . . . . . 7 (0 v a) = (a v 0)
26 or0 102 . . . . . . 7 (a v 0) = a
2725, 26ax-r2 36 . . . . . 6 (0 v a) = a
2824, 27ax-r2 36 . . . . 5 (((a v b') ^ (b ^ a')) v ((a v b') ^ a)) = a
2914, 28ax-r2 36 . . . 4 ((a v b') ^ ((b ^ a') v a)) = a
307, 292an 79 . . 3 (((b' v a') ^ (b v a')) ^ ((a v b') ^ ((b ^ a') v a))) = (((a' v b') ^ (a' v b)) ^ a)
314, 30ax-r2 36 . 2 ((a v b') ^ (((b' v a') ^ (b v a')) ^ ((b ^ a') v a))) = (((a' v b') ^ (a' v b)) ^ a)
323, 31ax-r2 36 1 (((a ->4 b)' v (b ->4 a)) ^ (b ->4 a)') = (((a' v b') ^ (a' v b)) ^ a)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  ud4lem1  581
  Copyright terms: Public domain W3C validator