QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  ud4lem3 Unicode version
Theorem ud4lem3 585
Description: Lemma for unified disjunction.
Assertion
Ref Expression
ud4lem3 ((a ->4 b) ->4 (a v b)) = (a v b)
Proof of Theorem ud4lem3
StepHypRef Expression
1 df-i4 47 . 2 ((a ->4 b) ->4 (a v b)) = ((((a ->4 b) ^ (a v b)) v ((a ->4 b)' ^ (a v b))) v (((a ->4 b)' v (a v b)) ^ (a v b)'))
2 ud4lem3a 583 . . . . . 6 ((a ->4 b)' ^ (a v b)) = (a ->4 b)'
32lor 70 . . . . 5 (((a ->4 b) ^ (a v b)) v ((a ->4 b)' ^ (a v b))) = (((a ->4 b) ^ (a v b)) v (a ->4 b)')
4 comid 187 . . . . . . . 8 (a ->4 b) C (a ->4 b)
54comcom2 183 . . . . . . 7 (a ->4 b) C (a ->4 b)'
6 df-i4 47 . . . . . . . 8 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))
7 comor1 461 . . . . . . . . . . . 12 (a v b) C a
8 comor2 462 . . . . . . . . . . . 12 (a v b) C b
97, 8com2an 484 . . . . . . . . . . 11 (a v b) C (a ^ b)
107comcom2 183 . . . . . . . . . . . 12 (a v b) C a'
1110, 8com2an 484 . . . . . . . . . . 11 (a v b) C (a' ^ b)
129, 11com2or 483 . . . . . . . . . 10 (a v b) C ((a ^ b) v (a' ^ b))
1310, 8com2or 483 . . . . . . . . . . 11 (a v b) C (a' v b)
148comcom2 183 . . . . . . . . . . 11 (a v b) C b'
1513, 14com2an 484 . . . . . . . . . 10 (a v b) C ((a' v b) ^ b')
1612, 15com2or 483 . . . . . . . . 9 (a v b) C (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))
1716comcom 453 . . . . . . . 8 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) C (a v b)
186, 17bctr 181 . . . . . . 7 (a ->4 b) C (a v b)
195, 18fh4r 476 . . . . . 6 (((a ->4 b) ^ (a v b)) v (a ->4 b)') = (((a ->4 b) v (a ->4 b)') ^ ((a v b) v (a ->4 b)'))
20 ancom 74 . . . . . . 7 (((a ->4 b) v (a ->4 b)') ^ ((a v b) v (a ->4 b)')) = (((a v b) v (a ->4 b)') ^ ((a ->4 b) v (a ->4 b)'))
21 ax-a2 31 . . . . . . . . . 10 ((a v b) v (a ->4 b)') = ((a ->4 b)' v (a v b))
22 ud4lem3b 584 . . . . . . . . . 10 ((a ->4 b)' v (a v b)) = (a v b)
2321, 22ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a v b) v (a ->4 b)') = (a v b)
24 df-t 41 . . . . . . . . . 10 1 = ((a ->4 b) v (a ->4 b)')
2524ax-r1 35 . . . . . . . . 9 ((a ->4 b) v (a ->4 b)') = 1
2623, 252an 79 . . . . . . . 8 (((a v b) v (a ->4 b)') ^ ((a ->4 b) v (a ->4 b)')) = ((a v b) ^ 1)
27 an1 106 . . . . . . . 8 ((a v b) ^ 1) = (a v b)
2826, 27ax-r2 36 . . . . . . 7 (((a v b) v (a ->4 b)') ^ ((a ->4 b) v (a ->4 b)')) = (a v b)
2920, 28ax-r2 36 . . . . . 6 (((a ->4 b) v (a ->4 b)') ^ ((a v b) v (a ->4 b)')) = (a v b)
3019, 29ax-r2 36 . . . . 5 (((a ->4 b) ^ (a v b)) v (a ->4 b)') = (a v b)
313, 30ax-r2 36 . . . 4 (((a ->4 b) ^ (a v b)) v ((a ->4 b)' ^ (a v b))) = (a v b)
3222ran 78 . . . . 5 (((a ->4 b)' v (a v b)) ^ (a v b)') = ((a v b) ^ (a v b)')
33 dff 101 . . . . . 6 0 = ((a v b) ^ (a v b)')
3433ax-r1 35 . . . . 5 ((a v b) ^ (a v b)') = 0
3532, 34ax-r2 36 . . . 4 (((a ->4 b)' v (a v b)) ^ (a v b)') = 0
3631, 352or 72 . . 3 ((((a ->4 b) ^ (a v b)) v ((a ->4 b)' ^ (a v b))) v (((a ->4 b)' v (a v b)) ^ (a v b)')) = ((a v b) v 0)
37 or0 102 . . 3 ((a v b) v 0) = (a v b)
3836, 37ax-r2 36 . 2 ((((a ->4 b) ^ (a v b)) v ((a ->4 b)' ^ (a v b))) v (((a ->4 b)' v (a v b)) ^ (a v b)')) = (a v b)
391, 38ax-r2 36 1 ((a ->4 b) ->4 (a v b)) = (a v b)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8  0wf 9   ->4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  ud4  598
  Copyright terms: Public domain W3C validator