QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  ud4lem3b Unicode version
Theorem ud4lem3b 584
Description: Lemma for unified disjunction.
Assertion
Ref Expression
ud4lem3b ((a ->4 b)' v (a v b)) = (a v b)
Proof of Theorem ud4lem3b
StepHypRef Expression
1 ud4lem0c 280 . . 3 (a ->4 b)' = (((a' v b') ^ (a v b')) ^ ((a ^ b') v b))
21ax-r5 38 . 2 ((a ->4 b)' v (a v b)) = ((((a' v b') ^ (a v b')) ^ ((a ^ b') v b)) v (a v b))
3 comor1 461 . . . . . . 7 (a v b) C a
43comcom2 183 . . . . . 6 (a v b) C a'
5 comor2 462 . . . . . . 7 (a v b) C b
65comcom2 183 . . . . . 6 (a v b) C b'
74, 6com2or 483 . . . . 5 (a v b) C (a' v b')
83, 6com2or 483 . . . . 5 (a v b) C (a v b')
97, 8com2an 484 . . . 4 (a v b) C ((a' v b') ^ (a v b'))
103, 6com2an 484 . . . . 5 (a v b) C (a ^ b')
1110, 5com2or 483 . . . 4 (a v b) C ((a ^ b') v b)
129, 11fh3r 475 . . 3 ((((a' v b') ^ (a v b')) ^ ((a ^ b') v b)) v (a v b)) = ((((a' v b') ^ (a v b')) v (a v b)) ^ (((a ^ b') v b) v (a v b)))
137, 8fh3r 475 . . . . . . 7 (((a' v b') ^ (a v b')) v (a v b)) = (((a' v b') v (a v b)) ^ ((a v b') v (a v b)))
14 ax-a2 31 . . . . . . . . 9 ((a' v b') v (a v b)) = ((a v b) v (a' v b'))
15 or4 84 . . . . . . . . . 10 ((a v b) v (a' v b')) = ((a v a') v (b v b'))
16 df-t 41 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (b v b')
1716lor 70 . . . . . . . . . . . 12 ((a v a') v 1) = ((a v a') v (b v b'))
1817ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 ((a v a') v (b v b')) = ((a v a') v 1)
19 or1 104 . . . . . . . . . . 11 ((a v a') v 1) = 1
2018, 19ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((a v a') v (b v b')) = 1
2115, 20ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a v b) v (a' v b')) = 1
2214, 21ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' v b') v (a v b)) = 1
23 ax-a2 31 . . . . . . . . 9 ((a v b') v (a v b)) = ((a v b) v (a v b'))
24 or4 84 . . . . . . . . . 10 ((a v b) v (a v b')) = ((a v a) v (b v b'))
2516lor 70 . . . . . . . . . . . 12 ((a v a) v 1) = ((a v a) v (b v b'))
2625ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 ((a v a) v (b v b')) = ((a v a) v 1)
27 or1 104 . . . . . . . . . . 11 ((a v a) v 1) = 1
2826, 27ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((a v a) v (b v b')) = 1
2924, 28ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a v b) v (a v b')) = 1
3023, 29ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a v b') v (a v b)) = 1
3122, 302an 79 . . . . . . 7 (((a' v b') v (a v b)) ^ ((a v b') v (a v b))) = (1 ^ 1)
3213, 31ax-r2 36 . . . . . 6 (((a' v b') ^ (a v b')) v (a v b)) = (1 ^ 1)
33 an1 106 . . . . . 6 (1 ^ 1) = 1
3432, 33ax-r2 36 . . . . 5 (((a' v b') ^ (a v b')) v (a v b)) = 1
35 lea 160 . . . . . . 7 (a ^ b') =< a
3635leror 152 . . . . . 6 ((a ^ b') v b) =< (a v b)
3736df-le2 131 . . . . 5 (((a ^ b') v b) v (a v b)) = (a v b)
3834, 372an 79 . . . 4 ((((a' v b') ^ (a v b')) v (a v b)) ^ (((a ^ b') v b) v (a v b))) = (1 ^ (a v b))
39 ancom 74 . . . . 5 (1 ^ (a v b)) = ((a v b) ^ 1)
40 an1 106 . . . . 5 ((a v b) ^ 1) = (a v b)
4139, 40ax-r2 36 . . . 4 (1 ^ (a v b)) = (a v b)
4238, 41ax-r2 36 . . 3 ((((a' v b') ^ (a v b')) v (a v b)) ^ (((a ^ b') v b) v (a v b))) = (a v b)
4312, 42ax-r2 36 . 2 ((((a' v b') ^ (a v b')) ^ ((a ^ b') v b)) v (a v b)) = (a v b)
442, 43ax-r2 36 1 ((a ->4 b)' v (a v b)) = (a v b)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8   ->4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  ud4lem3  585
  Copyright terms: Public domain W3C validator