QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  ud5lem3b Unicode version
Theorem ud5lem3b 592
Description: Lemma for unified disjunction.
Assertion
Ref Expression
ud5lem3b ((a ->5 b)' ^ (a v (a' ^ b))) = (a ^ (a' v b'))
Proof of Theorem ud5lem3b
StepHypRef Expression
1 ud5lem0c 281 . . 3 (a ->5 b)' = (((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a v b))
21ran 78 . 2 ((a ->5 b)' ^ (a v (a' ^ b))) = ((((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a v b)) ^ (a v (a' ^ b)))
3 comorr 184 . . . . . . 7 a' C (a' v b')
43comcom6 459 . . . . . 6 a C (a' v b')
5 comorr 184 . . . . . 6 a C (a v b')
64, 5com2an 484 . . . . 5 a C ((a' v b') ^ (a v b'))
7 comorr 184 . . . . 5 a C (a v b)
86, 7com2an 484 . . . 4 a C (((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a v b))
9 comanr1 464 . . . . 5 a' C (a' ^ b)
109comcom6 459 . . . 4 a C (a' ^ b)
118, 10fh2 470 . . 3 ((((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a v b)) ^ (a v (a' ^ b))) = (((((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a v b)) ^ a) v ((((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a v b)) ^ (a' ^ b)))
12 anass 76 . . . . . 6 ((((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a v b)) ^ a) = (((a' v b') ^ (a v b')) ^ ((a v b) ^ a))
13 ancom 74 . . . . . . . . 9 ((a v b) ^ a) = (a ^ (a v b))
14 anabs 121 . . . . . . . . 9 (a ^ (a v b)) = a
1513, 14ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a v b) ^ a) = a
1615lan 77 . . . . . . 7 (((a' v b') ^ (a v b')) ^ ((a v b) ^ a)) = (((a' v b') ^ (a v b')) ^ a)
17 anass 76 . . . . . . . 8 (((a' v b') ^ (a v b')) ^ a) = ((a' v b') ^ ((a v b') ^ a))
18 ancom 74 . . . . . . . . . . 11 ((a v b') ^ a) = (a ^ (a v b'))
19 anabs 121 . . . . . . . . . . 11 (a ^ (a v b')) = a
2018, 19ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((a v b') ^ a) = a
2120lan 77 . . . . . . . . 9 ((a' v b') ^ ((a v b') ^ a)) = ((a' v b') ^ a)
22 ancom 74 . . . . . . . . 9 ((a' v b') ^ a) = (a ^ (a' v b'))
2321, 22ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' v b') ^ ((a v b') ^ a)) = (a ^ (a' v b'))
2417, 23ax-r2 36 . . . . . . 7 (((a' v b') ^ (a v b')) ^ a) = (a ^ (a' v b'))
2516, 24ax-r2 36 . . . . . 6 (((a' v b') ^ (a v b')) ^ ((a v b) ^ a)) = (a ^ (a' v b'))
2612, 25ax-r2 36 . . . . 5 ((((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a v b)) ^ a) = (a ^ (a' v b'))
27 an32 83 . . . . . 6 ((((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a v b)) ^ (a' ^ b)) = ((((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a' ^ b)) ^ (a v b))
28 anass 76 . . . . . . . . 9 (((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a' ^ b)) = ((a' v b') ^ ((a v b') ^ (a' ^ b)))
29 anor2 89 . . . . . . . . . . . . 13 (a' ^ b) = (a v b')'
3029lan 77 . . . . . . . . . . . 12 ((a v b') ^ (a' ^ b)) = ((a v b') ^ (a v b')')
31 dff 101 . . . . . . . . . . . . 13 0 = ((a v b') ^ (a v b')')
3231ax-r1 35 . . . . . . . . . . . 12 ((a v b') ^ (a v b')') = 0
3330, 32ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 ((a v b') ^ (a' ^ b)) = 0
3433lan 77 . . . . . . . . . 10 ((a' v b') ^ ((a v b') ^ (a' ^ b))) = ((a' v b') ^ 0)
35 an0 108 . . . . . . . . . 10 ((a' v b') ^ 0) = 0
3634, 35ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a' v b') ^ ((a v b') ^ (a' ^ b))) = 0
3728, 36ax-r2 36 . . . . . . . 8 (((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a' ^ b)) = 0
3837ran 78 . . . . . . 7 ((((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a' ^ b)) ^ (a v b)) = (0 ^ (a v b))
39 an0r 109 . . . . . . 7 (0 ^ (a v b)) = 0
4038, 39ax-r2 36 . . . . . 6 ((((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a' ^ b)) ^ (a v b)) = 0
4127, 40ax-r2 36 . . . . 5 ((((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a v b)) ^ (a' ^ b)) = 0
4226, 412or 72 . . . 4 (((((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a v b)) ^ a) v ((((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a v b)) ^ (a' ^ b))) = ((a ^ (a' v b')) v 0)
43 or0 102 . . . 4 ((a ^ (a' v b')) v 0) = (a ^ (a' v b'))
4442, 43ax-r2 36 . . 3 (((((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a v b)) ^ a) v ((((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a v b)) ^ (a' ^ b))) = (a ^ (a' v b'))
4511, 44ax-r2 36 . 2 ((((a' v b') ^ (a v b')) ^ (a v b)) ^ (a v (a' ^ b))) = (a ^ (a' v b'))
462, 45ax-r2 36 1 ((a ->5 b)' ^ (a v (a' ^ b))) = (a ^ (a' v b'))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->5 wi5 16
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i5 48  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  ud5lem3  594
  Copyright terms: Public domain W3C validator