Theorem axpow2 3950

Description: A variant of the Axiom of Power Sets ax-pow 3948 using subset notation. Problem in {BellMachover] p. 466. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
axpow2	|- E. y A. z ( z C_ x -> z e. y )

Distinct variable group:   x, y, z

Proof of Theorem axpow2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pow 3948	. 2 |- E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y )
2		dfss2 2988	. . . . 5 |- ( z C_ x <-> A. w ( w e. z -> w e. x ) )
3	2	imbi1i 236	. . . 4 |- ( ( z C_ x -> z e. y ) <-> ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) )
4	3	albii 1399	. . 3 |- ( A. z ( z C_ x -> z e. y ) <-> A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) )
5	4	exbii 1536	. 2 |- ( E. y A. z ( z C_ x -> z e. y ) <-> E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) )
6	1, 5	mpbir 144	1 |- E. y A. z ( z C_ x -> z e. y )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1282   E.wex 1421   C_ wss 2973

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-11 1437  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-pow 3948

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-in 2979  df-ss 2986

This theorem is referenced by:  axpow3  3951  pwex  3953