Theorem csbexga 3906

Description: The existence of proper substitution into a class. (Contributed by NM, 10-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
csbexga	|- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> [_ A / x ]_ B e. _V )

Proof of Theorem csbexga

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csb 2909	. 2 |- [_ A / x ]_ B = { y | [. A / x ]. y e. B }
2		abid2 2199	. . . . . . 7 |- { y | y e. B } = B
3		elex 2610	. . . . . . 7 |- ( B e. W -> B e. _V )
4	2, 3	syl5eqel 2165	. . . . . 6 |- ( B e. W -> { y | y e. B } e. _V )
5	4	alimi 1384	. . . . 5 |- ( A. x B e. W -> A. x { y | y e. B } e. _V )
6		spsbc 2826	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A. x { y | y e. B } e. _V -> [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V ) )
7	5, 6	syl5 32	. . . 4 |- ( A e. V -> ( A. x B e. W -> [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V ) )
8	7	imp 122	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V )
9		nfcv 2219	. . . . 5 |- F/_ x _V
10	9	sbcabel 2895	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V <-> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V ) )
11	10	adantr 270	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> ( [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V <-> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V ) )
12	8, 11	mpbid 145	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V )
13	1, 12	syl5eqel 2165	1 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> [_ A / x ]_ B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   e. wcel 1433   {cab 2067   _Vcvv 2601   [.wsbc 2815   [_csb 2908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909

This theorem is referenced by:  csbexa  3907